Sentetik Aylık Akarsu Akımları İçin Çok Serili AR(0)+ARMA (1,1) Modeli


Creative Commons License

Haktanır T., Kara M., Açanal Haktanır N.

10. Ulusal Hidroloji Kongresi, Muğla, Türkiye, 9 - 12 Ekim 2019, cilt.1, no.1, ss.149-161

  • Cilt numarası: 1
  • Basıldığı Şehir: Muğla
  • Basıldığı Ülke: Türkiye
  • Sayfa Sayıları: ss.149-161

Özet

 

 

SENTETİK AYLIK AKARSU AKIMLARI İÇİN ÇOK SERİLİ AR(0)+ARMA(1,1) MODELİ

 

Tefaruk HAKTANIR1      M. Bircan KARA2             Neşe AÇANAL3

 

 

ÖZET

20 adede kadar akım rasat istasyonunda gözlenmiş aylık akım serilerini bir grup içinde giriş datası olarak alıp, her bir istasyonda 10Bin yıla kadar süreç için sentetik aylık akım serilerini hesaplayan, AR(0)+ARMA(1,1) sembolü ile temsil edilen bir çok-serili stokastik model geliştirilmiştir. Öncelikle, gruptaki M adet istasyonun modifiye-HEC4 programınca eksikleri tamamlanmış n-yıllık gözlenmiş aylık akım serileri giriş datası olarak okunmaktadır. Model, her serinin aylık akımlarını o ayın ortalamasından çıkarıp standart sapmasına bölerek mevsimlik periyotları ayıklamakta, çarpıklık katsayısı mutlak değeri 0.05’den büyük olan standardize serileri, parametreleri uygun bir yöntemle hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım ile standart-normal dağılımlı serilere dönüştürmektedir. M adet, n´12 elemanlı standart-normal değişken serilerinden k.nıncı serinin i.ninci elemanı (ui,k), diğer M–1 adet serinin i.ninci elemanlarına (AR(0)), M adet serinin i–1.inci elemanlarına (AR(1)), ve ortalaması 0, varyansı 1 eksi modelin determinasyon katsayısına eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci ve i–1.inci elemanlarına (MA(1)) lineer olarak iliştirilmektedir. Toplam 2´M adet parametre, M adet n´12 elemanlı ui,k serilerini kullanan, en-küçük-kareler yaklaşımıyla oluşan kapsamlı bir iteratif yöntemle hesaplanmaktadır. Sentetik ui,k’ların hesabı da ayrı bir kapsamlı iteratif yöntem gerektirmektedir. Daha sade çok-serili ARMA(1,1) modeli ile hesaplanan ui,k’lar AR(0)+ARMA(1,1) modelinin başlangıç tahminleri olarak alınmaktadır. Son iki iterasyonun N´12 adet ui,k değerlerinin aritmetik ortalamaları yeterli anlamlılıkta değişmeyinceye kadar iterasyonlar devam etmektedir. Baştan yapılan standardizasyon ve standart-normalizasyon dönüşümlerinin inversleri uygulanarak N´12 adet sentetik ui,k değerleri sentetik akım değerlerine dönüştürülmektedir. Model, Türkiye’nin dört farklı bölgesinde, 50-yıllık gözlenmiş akım serileri bulunan, 16 – 20 arası adette istasyonlu gruplara uygulanmış, 10Biner yıl süreçli aylık sentetik akım serileri hesaplanmış, sentetik serilerin 200 adet 50-şer yıllık parçalarının ortalama değer ve standart sapmalarının ortalamaları gözlenmişlerinkilerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca, baştaki, ortadaki, ve sondaki 50’şer yıllık sentetik seriler, gözlenmiş serilerle birlikte aynı şekil içinde ayrı ayrı çizdirilmiş, görünümleri gözle incelenmiştir. Bu karşılaştırmalar sonucu, bu çalışmada geliştirilmiş olan AR(0)+ARMA(1,1) modelinin makul sentetik aylık akımlar serileri hesapladığı gözlenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Aylık akarsu akımları için stokastik modeller.

 

 

ABSTRACT

A multi-series stochastic model symbolized by AR(0)+ARMA(1,1) is developed which, by taking the observed monthly streamflows series of as many as 20 gauging stations in one group as the input data, computes synthetic monthly streamflows up to 10thousand years at each station. Initially, the set of complete n-year-long series of monthly flows observed at M number of gauging stations reconstituted by the modified-HEC4 package program is taken as the input data. The model extracts the seasonal periodicities by subtracting its sample mean from each monthly flow and then dividing by its standard deviation. Next, each series of n´12 elements standardized as such is further standard-normalized if the absolute value of its skewness coefficient turns out to be greater than 0.05 by a 3-parameter log-normal distribution whose parameters are computed by a suitable method. The i’th element of the k’th series of each one of such determined M series (ui,k) is linearly related to the i’th elements of the other M–1 series (AR(0)), to the (i–1)’st elements of M series (AR(1)), and to the i’th and (i–1)’st elements of a normally-distributed random component whose mean is zero and standard deviation equals 1 minus the determination coefficient of the model (MA(1)). Computation of 2´M number of parameters is done by the least-squares approach, which necessitates a comprehensive iterative scheme. Computation of the ui,k’s of the synthetic series also necessitates another comprehensive iterative procedure. N´12 synthetic ui,k’s of each series computed by the simpler multi-series ARMA(1,1) model are taken as the initial estimates of the ui,k’s by the AR(0)+ARMA(1,1) model. The iterations continue until the overall averages the ui,k’s of the last two iterations come close to each other at a sufficient significance level. The inverse expressions of first the standardizations and next the standard-normalizations are applied to the final N´12 element ui,k series and finally N-year-long synthetic series of monthly flows are computed for each one of M stations in the group by those conversions. The model is applied to four groups from various regions of Turkey comprising between 16 and 20 stations in each group, and synthetic series of monthly flows for a period of 10thousand years are computed at each station, and the averages of sample means and of sample standard deviations of 200 50-year-long segments of the synthetic series are compared with those of the observed series of monthly flows. The first, the middle, and the last 50-year long portions of the 10thousand-year-long synthetic series are drawn together with the observed series in the same figure to scale and inspected visually. As a result of these comparisons, the developed AR(0)+ARMA(1,1) model is observed to compute reasonable synthetic monthly flows series.  

Keywords: Stochastic models for monthly streamflows.

 

 

GİRİŞ

 

Barajların işletme hesapları çoğu kez aylık akımlar ile yapılmaktadır (Örneğin: Çukurova Elektrik A. Ş., 1986; EİE, 2006; USACE, 1985). Doğal akarsuyun gelecekteki akım düzeninin geçmiştekine benzer olacağı varsayımıyla, proje aşamasında ve mevcut yapının işletme çalışmasında baraj aksında ölçülmüş veya baraj aksına taşınmış gözlenmiş akım serileri yaygın olarak kullanılmaktadır. Gelecekteki akımların genel istatistiksel karakteristikleri geçmişte gözlenmiş akımlarınkiler ile aynı veya çok yakın olsa dahi, gelecekte geçmiştekinden daha kurak ve daha sulak birkaç yıllık süreçler vuku bulabilir. Dolayısıyla, 20.nci yüzyılın başlarından beri, gelecekteki akım serileri için, geçmiştekilerin temel istatistiklerini muhafaza ederek, sentetik akım türetme yöntemleri geliştirilmiştir. Bunların en yaygınları Box-Jenkins modelleri olarak tabir edilen, AR(p), MA(q), ARMA(p,q), ARIMA(p,l,q) sembolleriyle tanımlanan stokastik yöntemlerdir (örneğin: Beard ve ark, 1970; Box ve ark, 2008; Can ve Yardelen, 2005; Karabörk ve Kahya, 1999; Kottegoda, 1980). Sentetik akım türetmedeki amaç, 5Bin yıl, 10Bin yıl gibi büyük uzunlukta bir yapay akım serisi hesaplamak, bunu her biri 35’er veya 50’şer yıllık 100 veya 200 adet parçalara bölmek, hidroelektrik üretimi, sulama suyu, içme-kullanma suyu temini gibi gayelerle 100 veya 200 adet parçanın her biri ile ayrı ayrı işletme yapmak, elde edilen 100 veya 200 farklı bulgu ile olasılık-bazlı sonuca ulaşmaktır. Örneğin 50 yıllık bir gözlenmiş akım serisi, bir adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji bulgusu verirken, 100 adet 50’şer yıllık sentetik seri parçası ile 100 adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji değeri elde edilir. Ortalama yıllık hidroelektrik enerjinin bir rastgele değişken olduğu kabulü ile, bu 100 adet değere uygun bir olasılık dağılımı uydurularak, örneğin geçilme olasılığı % 90 olan ortalama yıllık hidroelektrik enerji hesaplanmış olur.

 

Uzun sentetik akım datası üretme amaçlı paket programlar mevcuttur. HEC4 (USACE, 1971), SPIGOT (Grygier ve Stedinger, 1990, 2001), SAMS2007 (Sveinsson ve ark, 2007) programları bilinenler olarak değerlendirilebilir. Sembolik olarak tasvir edildiğinde, HEC4, bir çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) aylık akım modelidir. SPIGOT, yıllık akımlara, isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu AR(1) modeli uyguladıktan sonra, detayları Grygier ve Stedinger (1990, 2001) tarafından açıklanan zamansal ayrıştırma veya mekânsal ayrıştırma yöntemleriyle aylık akımları hesaplamaktadır. SAMS2007 yıllık ve aylık akım serilerini ayrı olarak farklı birkaç modelle türetmektedir. SAMS2007 yıllık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(p,q) modeli, fakat aylık akımlar için çok-istasyonlu AR(p) modeli uygulayabilmektedir. SAMS2007 çok-istasyonlu aylık akımlar için yıllık akımlara uyguladığı çok-istasyonlu ARMA(p,q) modelinin verdiği yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları elde etmektedir (Sveinsson ve ark, 2007). SAMS2007 isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu modelleri ayrı ayrı uygulamaktadır (Sveinsson ve ark, 2007). HEC4, SPIGOT, ve SAMS2007’nin hiç birisi aylık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(1,1) modeli uygulamamaktadır. Bunların en kapsamlısı SAMS2007 gibi görülmektedir; çünkü SAMS2007 hem p’nin hem de q’nun 10 kadar yüksek seviyelere kadar çıkabildiği ARMA(p,q) modeli uygulamaktadır. Fakat, SAMS2007 bu modeli sadece çok-istasyonlu yıllık akımlara uygulayabilmekte, aylık akımlar istenirse, hesapladığı yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları hesaplamaktadır. Özeti bu bildiride sunulan bu çalışmada, HEC4, SPIGOT, ve SAMS2007’ninkilerden farklı bir yöntemle, en fazla 20 adet olabilen bir grup içinde M adet istasyondaki aylık akım serilerine doğrudan çok-istasyonlu AR0+ARMA(1,1) modeli uygulanmıştır. Analitik ve nümerik safhaları geliştirildikten sonra, bu model Fortran dilinde AR0ARMA11 adlı bir bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir gruptaki istasyon adedi en fazla 20, sentetik seri uzunluğu da en fazla 10bin yıl olmaktadır. Programda M adet her biri 10bin satırlı 12 sütunlu matrisin yanısıra, birçok aynı boyutta matrisler ve birçok uzun tek boyutlu diziler gerekmekte, bu haliyle program, 20 istasyonlu bir grubun 10Bin yıllık aylık akım serilerinin hesabı için 4 Giga byte RAM hafızası olan bir PC’de çalışmaktadır. Program, RAM hafızası 8 veya daha fazla GB olan PC’ler için gruptaki seri adedini 40’a veya hatta 50’ye çıkarılacak biçimde kolayca modifiye edilebilir.

 

 

MATERYAL VE METOT

 

Materyal

 

Bu çalışmanın materyali olarak, Elektrik İşleri Etüt İdaresi ve Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğünce ölçülmüş olan ülkemizdeki doğal akarsuların memba kısmında baraj bulunmayan akım rasat istasyonlarının aylık akım serileri kullanılmıştır. Doğu Karadeniz Bölgesinde, 22 nolu Müteferrik Doğu Akdeniz Suları ve 23 nolu Çoruh havzalarında 19 adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Ayrıca, 21 nolu Fırat ve 26 nolu Dicle havzalarında 19 adet, Ege Bölgesinde 3 nolu Susurluk, 4 nolu Müteferrik Ege Suları, 5 nolu Gediz, 6 nolu Küçük Menderes havzalarında 20 adet, ve İç Anadolu Bölgesinde 14 nolu Yeşilırmak, 15 nolu Kızılırmak, 16 nolu Orta Anadolu Kapalı havzalarında 16 adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Bu akım rasat istasyonlarında ölçülmüş olan aylık akım dataları 1962 – 2011 arası 50 yıllık süreç için alınmış, uygun dosyalara kaydedilmiştir. Bu istasyonlardan bir kısmı 1962’den daha sonra açıldığı için bazı seriler daha kısadır. Bazı serilerde de aralarda kayıt boşlukları vardır.

 

Su Kaynakları Mühendisliği alanında, HEC1, HEC-RAS gibi birçok paket programı A.B.D.’de, ülkemizde, ve birçok ülkede kullanılmakta olan A.B.D. Ordu Mühendisleri Birliği Hidrolojik Mühendislik Merkezi’nin aylık akım serilerinin, gözlenmiş olanlardaki eksikliklerin tamamlanması ve istenen uzunlukta sentetik seriler hesaplanması için çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) modeli uygulayan, HEC4 olarak bilinen bir paket programı da mevcuttur (USACE, 1971). SPIGOT ve SAMS2007’den farklı olarak HEC4, öncelikle kaydedilmiş doğal akım serilerinden eksik ayların değerlerini de aynı model ile hesaplamakta ve gruptaki bütün istasyonların eksik akımlarını tamamlamaktadır. Bu çalışmada, gözlenmiş akımların eksiklerinin hesaplanması kısmında HEC4 programının AR(0)+AR(1) modelindeki rastgele bileşen kaldırılmış, o ayın ve bir önceki ayın açıklayıcı değişkenler olduğu çoklu lineer regresyon kullanılmıştır. Detayları burada sunulmayan, ölçülmüş birçok akımı seriden çıkarıp HEC4’e hesaplattırarak yapılan çok sayıda kombinezon sonucu, rastgele bileşensiz çoklu-regresyonun gözlenmiş serilerdeki eksik akımları daha duyarlı olarak hesapladığı görülmüştür. 1970’te geliştirilmiş olan HEC4 programı, o zamanki bilgisayarların hafıza kapasitesinden dolayı, bir grupta en fazla 10 seri almakta ve en fazla 100 yıl süreli sentetik seri hesaplayabilmektedir (USACE, 1971). Daha uzun sentetik serileri 100’er yıllık parçalar halinde hesaplamakta, bunları kısımlar halinde yardımcı hafızaya kaydetmektedir. Bu çalışmada, önce eksik akımların tamamlanmasında yapılan değişikliğin yanısıra, HEC4, bir grupta 20 seri alacak biçimde ve parçalara ayırmadan bir seferinde 10Bin yıla kadar süreli sentetik seri hesaplayacak biçimde modifiye edilmiştir. Dolayısıyla, yukarıda özetlenen gruplar öncelikle modifiye HEC4 ile çalıştırılmış ve gruplardaki istasyonların gözlenmiş aylık akım serileri 1962 – 2011 süreci için tamamlanmıştır. Böylece tamamlanan doğal akım serileri, bu çalışmada geliştirilmiş olan AR0ARMA11 programının giriş datasını teşkil etmiştir. Bu bildiride, yukarıda bahsedilenlerden Fırat-Dicle grubu içindeki, Tohma Suyu üzerinde 2145 nolu Hisarcık akım rasat istasyonu örnek olarak verilecektir. 2145-Hisarcık istasyonunun drenaj alanı 5780.8 km2 olup, 1963 – 2011 sürecinde eksiksiz gözlenmiş datası bulunmaktadır.

 

Metot

 

En fazla 20 istasyonun bir grupta bulunabileceği, en fazla 10Bin yıla kadar uzunlukta aylık akımların AR(0)+ARMA(1,1) modeli ile sentetik olarak hesabı için geliştirilmiş olan çok-istasyonlu model aşağıda özetlenen adımları içermektedir.

 

1) Her istasyonun n´12 adet elemanı bulunan gözlenmiş aylık akım serisine Qi = A´ti + B ifadesi ile tanımlı lineer trend analizi yapılır. Bu ifadedeki ti, Qi aylık akımın n´12 aylık süreçteki tam sayı konum değeridir. Burada, n´12 adet aylık akım değerleri kullanılarak A ve B katsayıları en-küçük-kareler yaklaşımlı regresyonla hesaplanır. A katsayısının t değeri ve A’nın % 99 anlamlılıkta çift taraflı güven aralığı hesaplanarak gözlenmiş aylık akımlar serisinin lineer trendi olup olmadığına karar verilir. Örneğin, bu çalışmada alınanlardan, 19 istasyon içeren Fırat-Dicle grubunda 5 istasyonda azalan trend görülmüştür. Karadeniz grubu hariç, diğer iki grupta da bazı istasyonlarda azalan trend bulunmuştur. Öncelikle trend bulunan bir istasyonun n´12 adet aylık akım değerlerinin hepsi, artan trend varsa aynı eğimle azaltılmakta, azalan trend varsa aynı eğimle arttırılmakta, ve böylece ortalaması zaman göre sabit bir gözlenmiş akım serisi elde edilmektedir.

 

2) Her istasyonun kesiksiz n yıllık aylık akımlar serisi bulunan, M adet istasyon içeren gruptaki her istasyonun her ayının akım serisinin ortalaması, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı hesaplanır.

 

3) Her istasyonun n´12 adet standardize değişken serisi aşağıdaki eşitlik ile hesaplanır.

 

zi,k = (Ql,j,k – ortj,k ) / ssj,k , l = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., 12, k = 1, 2, …, M,  i = 1, 2, ..., n´12                              (1)

 

Burada, Ql,j,k : k.nıncı istasyon akım serisinin, l.ninci yılının, j.ninci ayındaki akım değeri (hm3/ay), ortj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin ortalaması (hm3/ay), ssj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin standart sapması (hm3/ay), zi,k : k.nıncı serinin standardize değişkenidir (boyutsuz, toplam n´12 adet elemanlı tek seri).

 

4) Her istasyonun n´12 adet standart-normal değişken serisi (ui,k), parametreleri, momentler, olasılık-ağırlıklı momentler (OAM), maksimum-olabilirlik (MO), sıfır-çarpıklık yöntemlerinden en uygun olanı ile hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım (LN3) dönüştürümü ile hesaplanır. Oldukça kapsamlı ara adımlar ve hesaplar gerektiren bu kısmın özeti bildiriyi uzatmamak amacıyla verilmeyecektir. Arzu eden herkese sunulabilir. Parametreler hesaplandıktan sonra LN3 dağılımı ile standart-normalizasyon dönüştürümü aşağıdaki eşitliklerle yapılır.

 

ui,k = [ln(zi,k – ck) – ln(bk)] / ak  , zi,k serisinin çarpıklık katsayısı > +0.05 ise                              (2.1)

ui,k = [ln(ck – zi,k) – ln(bk)] / ak  , zi,k serisinin çarpıklık katsayısı < –0.05 ise                               (2.2)

 

Bir istasyonun zi,k serisinin çarpıklık katsayısı –0.05, +0.05 aralığında kalırsa zi,k serisinin standart-normal dağılımlı olduğu kabul edilerek doğrudan ui,k = zi,k alınır. Bu çalışmada data olarak kullanılan ülkemizden 74 istasyonun hiçbirinde bu durum oluşmamıştır. Şekil 1’de 2145-Hisarcık istasyonunda standardize değişkenin, Şekil 2’de de standart-normal değişkenin QQ grafikleri verilmektedir. Şekil 2’deki noktalar Şekil 1’dekine göre 45 derecelik doğruya daha yakın bir konumda olduğundan dolayı LN3-MO dağılımı ile dönüştürülmüş standart-normal serinin standardize seriye nazaran standart-normal dağılıma daha iyi uyduğu söylenebilir.

 

 

Şekil 1. 2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standardize edilmiş elemanlarının QQ grafiği.

 

 

 

Şekil 2. 2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standart-normalize edilmiş elemanlarının QQ grafiği.

 

 

5) M adet istasyondan 1.inci istasyonun sentetik standart-normal değerleri AR(0)+ARMA(1,1) modelinde aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.

 

         M           M

ui,1 = ∑ βk∙ui,k + ∑ ϕk∙ui–1,k + ηi – θ∙ηi–1  ,   i = 1, 2, . . ., n´12                                                    (3)

        k=2         k=1

 

Burada, βk : ui,1’i diğer M–1 adet istasyonun o ayki u’larına iliştiren AR(0) parametreleri, ϕk∙: ui,1’i kendisi dahil bütün M adet istasyonun bir ay önceki u’larına iliştiren AR(1) parametreleri, ηi : ortalaması sıfır, varyansı (1–R2)’ye eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci aydaki değeri, θ : ui,1’i rastgele bileşenin bir ay önceki değerine iliştiren MA(1) parametresidir. (1–R2)’deki R2, n´12 adet gözlenmiş serinin ui,1’leri ile (3) eşitliğinin hesapladığı ui,1’ler arasındaki ilişkinin determinasyon katsayısıdır (Box ve ark, 2008). Görüldüğü gibi, bir grupta M adet istasyon var ise, AR(0)+ARMA(1,1) modelinin toplam 2´M adet parametresi bulunmaktadır. (1–R2) aşağıdaki gibi tanımlıdır (Örneğin: Montgomery ve ark 2001).

 

 

 

          n´12                                  n´12

1–R2 = ∑ (ui,1-gözlenen – ui,1-hesaplanan)2 / ∑ (ui,1-gözlenen – u1-ortalama)2                                                   (4)

           i=1                                     i=1

 

Burada, u1-ortalama : n´12 adet ui,1-gözlenen’lerin aritmetik ortalaması, ui,1-hesaplanan’lar da (3) eşitliği ile hesaplanan ui,1’lerdir. (4) eşitliği genel olup, (3) eşitliğinden farklı bir eşitlik için de geçerlidir ve o eşitliğin (1–R2)’sini verir.

 

(3) eşitliğindeki rastgele bileşen bu çalışmada aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

 

Pnexi = ursi                                                                                                                             (5)

sndi = Φ(Pnexi)                                                                                                                                              (6)

ηi = ση ∙ sndi                                                                                                                            (7)

 

Burada, ursi : alt sınırı 0, üst sınırı 1 olan üniform dağılımlı (kenar uzunluğu 1 olan kare) bir rastgele sayı, Pnexi : ursi’ye eşit alınan, ηi’nin küçük-kalma olasılığı, Φ(Pnexi): standart-normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu inversinin Pnexi argümanı için verdiği nümerik değer, ση : ηi’nin standart sapmasıdır ve ση = (1–R2)1/2’dir. Bu çalışmada ursi, Numerical Recipes (Press ve ark, 1992) kitabında verilen RAN1 adlı alt-program ile, Φ(Pnexi) te Odeh ve Evans’ın (1974) 8 anlamlı hane duyarlılığındaki nümerik yöntemiyle hesaplanmaktadır.

 

6) (3) eşitliğindeki M–1 adet βk, M adet ϕk, ve bir adet θ parametresi, M adet her biri n×12 elemanlı aylık akım serilerinin dönüştürülmüş ui,k değerleri ve (5), (6), (7) eşitliklerinden elde edilmiş n×12 elemanlı ηi serisi kullanılarak, (3) eşitliğiyle hesaplanan ui,1’ler ile gözlenmiş ui,1’ler arasındaki farkların karelerinin toplamını minimum yapacak biçimde, diğer bir deyişle en-küçük-kareler yöntemiyle hesaplanmaktadır. Anılan farkların karelerinin toplamı aşağıdaki gibidir.

 

           n×12

FKT1 = ∑ (ui,1-hesaplanan – ui,1-gözlenen)2                                                                                         (8)

            i=1

 

Burada, ui,1-hesaplanan için (3) eşitliğinin sağ tarafı ve ui,1-gözlenen için de kısa olması amacıyla ugi,1 sembolü kullanıldığında FKT1 aşağıdaki gibi yazılabilir.

 

           n×12   M                        M

FKT1 =  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k + ∑ ϕk∙ugi–1,k + ηi – θ∙ηi–1 ] – ugi,1}2                                                     (9)

             i=1   k=2         k=1

 

FKT1’i minimum yapan parametreleri bulabilmek için FKT1’in her bir parametreye göre kısmi türevini alıp bunları sıfıra eşitleyerek oluşturulan denklem takımını parametreler için çözmek gerekir. FKT1’in β2’den βM’ye kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                     M                                         n×12

  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi,m + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi,m – θ∙ηi–1∙ugi,m ] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi,m , m = 2, 3, …, M    (10)

 i=1   k=2                   k=1                                           i=1

 

FKT1’in ϕ1’den ϕM’ye kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                       M                                             n×12

  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi–1,m + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi–1,m – θ∙ηi–1∙ugi–1,m] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,m , m = 1, 2, …, M                       (11)

 i=1   k=2                    k=1                                            i=1

 

FKT1’in θ’ya göre kısmi türevinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlik aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                    M                                               n×12

  ∑ {[ ∑ βk·ugi,k∙ηi–1 + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ηi–1 – θ∙(ηi–1)2] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ηi–1                                         (12)

 i=1   k=2                   k=1                                 i=1

 

(10) eşitliklerinden M–1 adet, (11) eşitliklerinden M adet, ve (12) eşitliğinden de 1 adet lineer denklem elde edilir. Böylece, 2×M adet bilinmeyene karşılık 2×M adet lineer denklem elde edilmiş olur. (10), (11), ve (12) eşitliklerinin oluşturduğu lineer denklemler takımı AX = B sembolleri ile öz bir biçimde yazılırsa, X bilinmeyenler vektörünün, A katsayılar matrisinin, ve B yük vektörünün elemanları aşağıdaki gibidir.

 

x1 ≡ β2, x2 ≡ β3, . . ., xM–1 ≡ βM, xM ≡ ϕ1, xM+1 ≡ ϕ2, . . ., x2M–1 ≡ ϕM, x2M ≡ θ

 

a1,1 = S ugi,22 , a1,2 = S ugi,3∙ugi,2 , . . ., a1,M–1 = S ugi,M∙ugi,2 , a1,M = S ugi–1,1∙ugi,2 ,

a1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,2 , . . ., a1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,2 , a1,2M = S ηi–1∙ugi,2  

 

a2,1 = S ugi,2∙ugi,3 , a2,2 = S ugi,32  , . . ., a2,M–1 = S ugi,M∙ugi,3 , a2,M = S ugi–1,1∙ugi,3 ,

a2,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,3 , . . ., a2,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,3 , a2,2M = S ηi–1∙ugi,3  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aM–1,1 = S ugi,2∙ugi,M , aM–1,2 = S ugi,3∙ugi,M  , . . ., aM–1,M–1 = S ugi,M2 , aM–1,M = S ugi–1,1∙ugi,M ,

aM–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,M , . . ., aM–1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi, M , aM–1,2M = S ηi–1∙ugi,M  

 

aM,1 = S ugi,2∙ugi–1,1 , aM,2 = S ugi,3∙ugi–1,1  , . . ., aM,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,1 , aM,M = S ugi–1,12 ,

aM,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,1 , . . ., aM,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,1 , aM,2M = S ηi–1∙ugi–1,1  

 

aM+1,1 = S ugi,2∙ugi–1,2 , aM+1,2 = S ugi,3∙ugi–1,2  , . . ., aM+1,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,2 , aM+1,M = S ugi– 1,1∙ugi–1,2 , aM+1,M+1 = S ugi–1,22 , . . ., aM+1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,2 , aM+1,2M = S ηi–1∙ugi–1,2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a2M–1,1 = S ugi,2∙ugi–1,M , a2M–1,2 = S ugi,3∙ugi–1,M , . . ., a2M–1, M–1 = S ugi,M∙ugi–1,M

a2M–1,M = S ugi–1,1∙ugi–1,M , a2M–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,M , . . ., a2M–1,2M–1 = S ugi–1,M2 , a2M–1,2M = S ηi–1∙ugi–1,M

 

a2M,1 = S ugi,2∙ηi–1 , a2M,2 = S ugi,3∙ηi–1  , . . ., a2M,M–1 = S ugi,M∙ηi–1 , a2M,M = S ugi–1,1∙ηi–1 ,

a2M,M+1 = S ugi–1,2∙ηi–1 , . . ., a2M,2M–1 = S ugi–1,M∙ηi–1 , a2M,2M = S ηi–12  

 

b1 = S (ugi,1ηi)∙ugi,2 , b2 = S (ugi,1ηi)∙ugi,3 , . . ., bM–1 = S (ugi,1ηi)∙ugi,M , bM = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,1 ,

bM+1 = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,2 , . . ., b2M–1 = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,M , b2M = S (ugi,1ηi)∙ηi–1

 

Yukarıda özetlendiği biçimde oluşan AX = B takımının en fazla 40 adet denklemi oluşmaktadır. Genel programda diziler ve matrisler 7 anlamlı haneli olarak işlenirken, AX = B sisteminin bilinmeyen vektörü 16 anlamlı haneli olarak Gauss-Jordan yöntemiyle hesaplanmaktadır.

 

7) n×12 adet rastgele bileşenin değerleri (4) ve (7) eşitliklerinden dolayı henüz hesaplanmamış olan parametrelere bağlı olduğu için parametrelerin hesabı iteratif bir yöntem gerektirmektedir. 0 ile +1 arasındaki (1–R2)’nin olması gereken değerini hesaplamak için öncelikle (3) eşitliğindeki son iki terimin kaldırıldığı doğrudan, 2×M–1 adet açıklayıcı (bağımsız) değişkeni olan çoklu lineer regresyonun (1–R2)’si hesaplanmaktadır. Gerçek (1–R2) için bunu başlangıç tahmini alan Kiriş yöntemi ile (1–R2) değişmez oluncaya kadar iterasyonlar devam etmekte son iterasyondaki 2´M adet parametre çok-serili AR(0)+ARMA(1,1) modelinin parametreleri olmaktadır. Her iterasyonda yukarıda özetlenen AX = B sistemi çözülmektedir.

 

8) 1 nolu istasyonun i.ninci ayının standart-normal değerini gruptaki diğer M–1 adet istasyonun aynı aydaki standart-normal değerlerine (ui,k’lara) iliştirdiği için (3) eşitliğindeki ilk terimden dolayı parametrelerin belirlenmesini takiben N yıllık sentetik ui,1 serisi direkt olarak hesaplanamaz. Çünkü diğer istasyonların o ayki standart-normal değerleri henüz hesaplanmamıştır. Kapsamlı bir iteratif yöntem gerekmektedir. M adet serinin her birinin N´12 adet ui,k’ları doğru olarak hesaplandığında, bu bilinen ui,k’lar ve ui–1,k’lar (3) eşitliğine konduğu vakit hesaplanan ui,1’ler artık belirlenmiş olan ui,1’lere kabul edilebilir bir duyarlılıkta eşit olmak zorundadır. Bu kapsamlı iteratif döngüler içeren yöntem bu kısımda özetlenmektedir. Öncelikle, (3) eşitliğinin daha basit bir hali olan ilk teriminin çıkarıldığı model ele alınır. Bu, çok-serili ARMA(1,1) modelidir. Bu sade modelde ui,1 bir önceki ayların standart-normal değerlerine (ui–1,k’lara) iliştirildiği için, sentetik ui,1’lerin hesabı doğrudan yapılabilir. Fakat, bu çalışmada uygulanan AR0+ARMA(1,1) modelinden daha sade bir model olan ARMA(1,1) modeli tabi ki ilkinden daha farklı ui,1’ler hesaplayacaktır. Bu çalışmada, sade modelin verdiği ui,1’ler asıl modelin hesaplayacağı ui,1’ler için başlangıç tahminleri olarak kullanılmaktadır. Çok-serili ARMA(1,1) modelinin M adet parametresi bulunmaktadır. Yukarıda, buraya kadar özetlenen çok-serili AR0+ARMA(1,1) modelinin parametrelerinin hesabı için uygulanan en-küçük-kareler yöntemi bu çok-serili ARMA(1,1) modeli için de uygulanmakta, sonra N´12 adet ui,1’ler hesaplanmaktadır. Son iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin ortalamasının bir önceki iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin ortalamasından olan mutlak farkın 0.0001’den (10–4)  küçük olduğunda asıl modelin yeterli hassasiyette ui,1’leri hesapladığı kabul edilmiştir. Bu kriter, 20 adet istasyonlu bir grupta 20 adet serinin her birinin toplam 120Bin adet ui,k’ları olan 10Bin yıllık sentetik serilerde 50 ile 100 arası iterasyon gerektirmektedir. Yakınsama kriteri10–4 yerine 10–6 alındığında iterasyon sayısı 10 ~ 20 civarında artmaktadır. Hesaplanan ui,k’ların büyük çoğunluğu –5, +5 aralığında küçük boyutlu reel sayılar olduğu için ortalamalardaki farkın 0.0001 olması yeterlidir. Son iki iterasyonda ortalamalar arasındaki fark yeterli hassasiyette değilse, N´12 adet yeni iterasyon değerleri aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır.

 

Yeni ui,1 = AK1´(bir önceki iterasyondaki ui,1) + AK2´(son iterasyondaki ui,1)                           (13)

 

Burada, AK1 : bir önceki iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısı, AK2 : son iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısıdır, ve bunlar, son iki iterasyondaki N´12 adet ui,1’ler serilerinin standart sapmalarının değerlerine göre aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. 

 

AK1 = SS1 / (SS1 + SS2) , AK2 = SS2 / (SS1 + SS2)                                                    (14.1), (14.2)

 

Bu iterasyonlarda 1.inci istasyonun dışındaki diğer M–1 adet istasyonun ui,1’leri en son değerlerinde sabit kalır. İlk iterasyonda M–1 adet istasyonun ui,k’ları çok-serili ARMA(1,1) modelince hesaplanan değerler olarak kalır. 

 

9) Yukarıdaki paragraflarda özetlendiği biçimde M adet seriden 1.inci serinin N´12 adet ui,1’leri yeterli hassasiyette hesaplandıktan sonra, serilerin yerleri bir sıra geriye gidecek biçimde değiştirilmektedir. Baştaki dizilişte 2.nci olan 1.inciye, 3.üncü olan 2.nciye, …, M.inci olan M–1.inciye kaydırılırken, en baştaki 1.inci de M.inci olarak değiştirilir. Bu değişim yapıldıktan sonra, serilerin ui,k’larının en son değerleri ile yukarıdaki 5.inci şıkka gidilir ve büyük döngü iterasyonlar, M adet serinin tamamının son iki iterasyonların N´12 adet ui,1’leri ortalamaları mutlak farkı 0.0001’den (10–4) küçük kalana kadar devam eder. N = 10Bin iken 20 istasyonlu bir grupta 80 civarında büyük iterasyon döngüsü sonunda M adet serinin N´12 adet ui,1’leri değişmez olmaktadır.

 

10) (3) eşitliği ile M adet istasyonun N´12 adet ui,k’ları hesaplandıktan sonra, LN3 dağılımı ile ui,k’lar (2) eşitliklerinin inversleri olan aşağıdaki eşitlikler kullanılarak zi,k’lara dönüştürülür.

 

zi,k = ck + exp[ui,k × ak + ln(bk)],  baştan z’lerin çarpıklık katsayısı pozitif ise                                        (15.1)

zi,k = ck – exp[ui,k × ak + ln(bk)],  baştan z’lerin çarpıklık katsayısı negatif ise                                        (15.2)

 

Sonra, zi,k’lar, (1) eşitliğinin inversi olan aşağıdaki eşitlik kullanılarak aylık akımlara dönüştürülür.

 

Ql,j,k = zi,k × ssj,k + ortj,k  , k = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, 12, l = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, N´12      (16)

 

11) Başta gözlenmiş akım serisinde trend tespit edilen bir istasyonun N-yıllık sentetik akım serisinin her bir n-yıllık parçasının n´12 adet akım değerleri, Qi = A´ti + B ifadesi ile trende uygun olarak değiştirilmektedir. Trend ifadesi, uzun sentetik serinin N´12 adet akımlarına baştan sona uygulanmamaktadır.

 

BULGULAR, SONUÇ, VE TARTIŞMA

 

Çalışmanın bir yan ürünü olarak, ülkemizin değişik bölgelerinden toplam 74 akım rasat istasyonunda, 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım serilerinin, % 99 anlamlılık seviyesinde lineer regresyon yöntemiyle yapılmış trend analizi sonuçları vardır. Doğu Karadeniz grubundaki 19 istasyondan hiçbirinin 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım serilerinde trend bulunmamıştır. Aynı süreç için, Ege Bölgesindeki grupta, dört havzadan 20 akım rasat istasyonunun 19’unda, Yeşilırmak, Kızılırmak, ve Orta Anadolu havzalarındaki 16 istasyonluk grupta 8 istasyonda, Fırat-Dicle grubundaki 19 istasyonun 5 adedinde azalan trend görülmüştür. Toplam 74 adet gözlenmiş aylık akım serilerinden hiç birinde artan trend bulunmamıştır.

 

Bu çalışmada, kendine özgü bir yaklaşımla, akım özelliklerinin benzer olduğu beklenen bir bölgedeki en fazla 20 akım rasat istasyonunda n yıllık gözlenmiş aylık akım serilerini alıp, her istasyon için N yıllık sentetik aylık akım serileri üreten bir model geliştirilmiş ve Fortran dilinde bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir tür Box-Jenkins modeli olan bu çalışmanın modeli, genelde kullanılan sembollerle, bir ‘çok-serili AR(0)+ARMA(1,1)’ modelidir. Bu modelin, GİRİŞ kısmında bahsedilen HEC4, SAMS2007, ve SPIGOT modellerinden diğer bir farkı da, gruptaki her bir istasyonda aylık akım serilerine % 99 anlamlılık seviyesinde lineer trend analizi yapmasıdır. Trend bulunan bir serinin n´12 adet bütün gözlenmiş akımları, trend doğrusunun eğimi ile aynı oranda, azalan trend olan seri için arttırılmakta artan trend için azaltılmakta, böylece en başta, modelin diğer aşamalarına geçmeden, ortalama değeri zamana göre sabit bir seriye dönüştürülmektedir. En sonunda, trend olan bir istasyonun sentetik aylık akımları (16) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, N yıllık sentetik serinin n-yıllık parçalarının her birine ayrı ayrı, baştan elde edilen Qi = A´ti + B ifadesi ile trend uygulaması yapılmaktadır.

 

Programın çıktı dosyalarından, istatistiksel özellikleri özetleyen olanının sonunda, 12 ayın her birinin n-yıllık gözlenmiş akımlarının ortalaması, varyasyon katsayısı, ve çarpıklık katsayısı ve aynı rakamların altında N/n adet her biri n-yıllık sentetik aylık akım serilerinin ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama değerleri verilmektedir. Çizelge (1)’de Fırat-Dicle grubunda bu çalışmada örnek olarak seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun bu istatistikleri verilmektedir. Diğer 18 istasyonun ve diğer gruplardaki bütün istasyonların anılan istatistikleri benzer yapıdadır. Bu çıktıların incelenmesinden 200 adet 50’şer yıllık ortalama ve varyasyon katsayıları ortalama değerlerinin 50’şer yıllık gözlenmiş akım serilerinkilere çok yakın olduğu görülmüştür. Çarpıklık katsayılarında uyum diğer ikisi kadar iyi gözükmemektedir.

 


 

 

Çizelge 1. Fırat-Dicle grubundaki istasyonlardan 2145-Hisarcık istasyonu 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisinin ortalama, varyasyon katsayısı, çarpıklık katsayısı değerleri, ve bu çalışmada geliştirilen modelin hesapladığı her biri 50-yıllık 200 adet sentetik serinin ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama değerleri.

 

               ORTALAMA DEĞER (hm3/ay)     VARYASYON KATSAYISI    ÇARPIKLIK KATSAYISI

AYLAR     Doğal seri    200 sentetik               Doğal seri     200 sentetik          Doğal seri     200 sentetik

                  değeri          seri ortalaması           değeri           seri ortalaması       değeri            seri ortalaması

 

Ekim         46.4              46.5                        0.24              0.24                                   1.00                0.50

Kasım       47.3              47.3                        0.23              0.22                                   1.10                0.52

Aralık        48.2              48.2                        0.24              0.23                                   1.18                0.51

Ocak         47.2              47.1                        0.23              0.22                                   1.04                0.47

Şubat        45.7              45.8                        0.24              0.23                                   0.81                0.48

Mart          82.0              82.1                        0.38              0.37                                   2.34                0.49

Nisan      107.2            107.2                        0.49              0.48                                   1.17                0.53

Mayıs        87.1              87.4                        0.47              0.46                                   1.20                0.52

Haziran                 59.2              59.1                        0.40              0.40                                   0.73                       0.50

Temmuz    46.4                         46.7                        0.39              0.38                                   1.09                       0.51

Ağustos     41.3                          41.4                        0.38              0.37                                   0.97                       0.48

Eylül         39.9              39.8                        0.32              0.31                                   0.90                0.57

 

 

Bu modelin, Fırat ve Dicle havzalarında, içinde 19 adet, memba kısmında baraj olmayan akım rasat istasyonunun bulunduğu gruba uygulanması sonucu, 50’şer yıllık gözlenmiş aylık akımlar giriş datası ile 10Bin’er yıllık sentetik aylık akımlar hesaplanmıştır. Bu 19 istasyonluk grupta azalan trend gösteren 5 adet istasyondan rastgele seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun 10Bin yıllık sentetik serisinden elde edilen 200 adet, çakışmayan, her biri 50 yıllık sentetik aylık akım serilerinden baştakinin (1.incisinin), ortadakinin (100.üncüsünün), ve sonuncusunun (200.üncüsünün) 600’ar aylık akımlarının görünümleri 3, 4, ve 5 nolu şekillerde 50 yıllık doğal akım serisi ile birlikte sunulmaktadır. Bu şekillerin göreceli incelenmesinden, burada özetlenen bu stokastik modelin makul sentetik akımlar hesapladığı söylenebilir.

 

 

 

Şekil 3. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 1.inci 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.

 

 

Şekil 4. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 100.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.

 

 

Şekil 5. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 200.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serileri.

 

 

KAYNAKLAR

 

Beard L R, Fredrich A J, Hawkins E F (1970) Estimating Monthly Streamflows within a Region,TP 18. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers, Davis, CA.

Box G E P, Jenkins G M, Reinsel G C (2008) Time Series Analysis Forecasting and Control, Fourth Edition, John Wiley & Sons Inc., Hoboken, New Jersey, USA.

Can I and Yerdelen C (2005) Auto-regressive moving-average (ARMA) modeling of monthly flows of M Kemal Pasa River, Susurluk Basin. Journal of Faculty of Engineering and Architecture of Selcuk University, 20(3), 25–34.

Çukurova Elektrik A. Ş. (1986) Sır Dam and Hydroelectric Project, Water Potential and Power Studies (Revision). Coyne et Bellier, Bureau d’Ingenieurs Conseils, Paris, France, Aknil Engineers Consultants, Ankara, Turkey.

EİE (2006) Ağaçhisar Barajı ve HES için Fizibilite Raporu, Susurluk – Orhaneli Çayı Havzasındaki Enerji Projeleri. Elektrik İşleri Genel Müdürlüğü, Ankara.

Grygier J C and Stedinger J R (1990) SPIGOT, A Synthetic Streamflow Generation Software Package, Technical Description, Version 2.6. School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.

Grygier J C and Stedinger J R (2001) SPIGOT, A Synthetic Streamflow Generation Software Package, User’s Manual, Version 2.7. School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.

Karabörk M Ç and Kahya E (1999) Multivariate stochastic modeling of monthly streamflow of rivers in Sakarya Basin (in Turkish). Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences, 23(1999), 133–147.

Kottegoda (1980) Stochastic Water Resources Technology, The MacMillan Press Ltd., Hong Kong.

Montgomery D, Peck E, Vining G (2001) Introduction to Linear Regression Analysis. 3rd edition, John Wiley, New York.

Odeh R E and Evans J O (1974) Algorithm AS 70: percentage points of the normal distribution. Applied Statistics, 23, 96-97.

Press W H, Teukolsky S A, Vetterling W T, Flannery B P (1992) Numerical Recipes in Fortran 77, The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge University Press, UK.

Sveinsson O G B, Salas J D, Lane W L, Frevert D K (2007) Stochastic Analysis, Modeling, and Simulation (SAMS) Version 2007, User’s Manual. Computing Hydrology Laboratory, Department of Civil and Environmental Engineering, Colorado State University, Fort Collins CO, USA.

USACE (1971) HEC4 Monthly Streamflow Simulation User’s Manual. US Army Corps of Engineers, Institute for Water Resources, Hydrologic Engineering Center, 609 Second Street, Davis, CA 95616, USA.

USACE (1985) Engineer Manual EM-1110-2-1701 Hydropower. US Army Corps of Engineers, Washington, D.C., 20314-1000.

 

 

 

SENTETİK AYLIK AKARSU AKIMLARI İÇİN ÇOK SERİLİ AR(0)+ARMA(1,1) MODELİ

 

Tefaruk HAKTANIR1      M. Bircan KARA2             Neşe AÇANAL3

 

 

ÖZET

20 adede kadar akım rasat istasyonunda gözlenmiş aylık akım serilerini bir grup içinde giriş datası olarak alıp, her bir istasyonda 10Bin yıla kadar süreç için sentetik aylık akım serilerini hesaplayan, AR(0)+ARMA(1,1) sembolü ile temsil edilen bir çok-serili stokastik model geliştirilmiştir. Öncelikle, gruptaki M adet istasyonun modifiye-HEC4 programınca eksikleri tamamlanmış n-yıllık gözlenmiş aylık akım serileri giriş datası olarak okunmaktadır. Model, her serinin aylık akımlarını o ayın ortalamasından çıkarıp standart sapmasına bölerek mevsimlik periyotları ayıklamakta, çarpıklık katsayısı mutlak değeri 0.05’den büyük olan standardize serileri, parametreleri uygun bir yöntemle hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım ile standart-normal dağılımlı serilere dönüştürmektedir. M adet, n´12 elemanlı standart-normal değişken serilerinden k.nıncı serinin i.ninci elemanı (ui,k), diğer M–1 adet serinin i.ninci elemanlarına (AR(0)), M adet serinin i–1.inci elemanlarına (AR(1)), ve ortalaması 0, varyansı 1 eksi modelin determinasyon katsayısına eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci ve i–1.inci elemanlarına (MA(1)) lineer olarak iliştirilmektedir. Toplam 2´M adet parametre, M adet n´12 elemanlı ui,k serilerini kullanan, en-küçük-kareler yaklaşımıyla oluşan kapsamlı bir iteratif yöntemle hesaplanmaktadır. Sentetik ui,k’ların hesabı da ayrı bir kapsamlı iteratif yöntem gerektirmektedir. Daha sade çok-serili ARMA(1,1) modeli ile hesaplanan ui,k’lar AR(0)+ARMA(1,1) modelinin başlangıç tahminleri olarak alınmaktadır. Son iki iterasyonun N´12 adet ui,k değerlerinin aritmetik ortalamaları yeterli anlamlılıkta değişmeyinceye kadar iterasyonlar devam etmektedir. Baştan yapılan standardizasyon ve standart-normalizasyon dönüşümlerinin inversleri uygulanarak N´12 adet sentetik ui,k değerleri sentetik akım değerlerine dönüştürülmektedir. Model, Türkiye’nin dört farklı bölgesinde, 50-yıllık gözlenmiş akım serileri bulunan, 16 – 20 arası adette istasyonlu gruplara uygulanmış, 10Biner yıl süreçli aylık sentetik akım serileri hesaplanmış, sentetik serilerin 200 adet 50-şer yıllık parçalarının ortalama değer ve standart sapmalarının ortalamaları gözlenmişlerinkilerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca, baştaki, ortadaki, ve sondaki 50’şer yıllık sentetik seriler, gözlenmiş serilerle birlikte aynı şekil içinde ayrı ayrı çizdirilmiş, görünümleri gözle incelenmiştir. Bu karşılaştırmalar sonucu, bu çalışmada geliştirilmiş olan AR(0)+ARMA(1,1) modelinin makul sentetik aylık akımlar serileri hesapladığı gözlenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Aylık akarsu akımları için stokastik modeller.

 

 

ABSTRACT

A multi-series stochastic model symbolized by AR(0)+ARMA(1,1) is developed which, by taking the observed monthly streamflows series of as many as 20 gauging stations in one group as the input data, computes synthetic monthly streamflows up to 10thousand years at each station. Initially, the set of complete n-year-long series of monthly flows observed at M number of gauging stations reconstituted by the modified-HEC4 package program is taken as the input data. The model extracts the seasonal periodicities by subtracting its sample mean from each monthly flow and then dividing by its standard deviation. Next, each series of n´12 elements standardized as such is further standard-normalized if the absolute value of its skewness coefficient turns out to be greater than 0.05 by a 3-parameter log-normal distribution whose parameters are computed by a suitable method. The i’th element of the k’th series of each one of such determined M series (ui,k) is linearly related to the i’th elements of the other M–1 series (AR(0)), to the (i–1)’st elements of M series (AR(1)), and to the i’th and (i–1)’st elements of a normally-distributed random component whose mean is zero and standard deviation equals 1 minus the determination coefficient of the model (MA(1)). Computation of 2´M number of parameters is done by the least-squares approach, which necessitates a comprehensive iterative scheme. Computation of the ui,k’s of the synthetic series also necessitates another comprehensive iterative procedure. N´12 synthetic ui,k’s of each series computed by the simpler multi-series ARMA(1,1) model are taken as the initial estimates of the ui,k’s by the AR(0)+ARMA(1,1) model. The iterations continue until the overall averages the ui,k’s of the last two iterations come close to each other at a sufficient significance level. The inverse expressions of first the standardizations and next the standard-normalizations are applied to the final N´12 element ui,k series and finally N-year-long synthetic series of monthly flows are computed for each one of M stations in the group by those conversions. The model is applied to four groups from various regions of Turkey comprising between 16 and 20 stations in each group, and synthetic series of monthly flows for a period of 10thousand years are computed at each station, and the averages of sample means and of sample standard deviations of 200 50-year-long segments of the synthetic series are compared with those of the observed series of monthly flows. The first, the middle, and the last 50-year long portions of the 10thousand-year-long synthetic series are drawn together with the observed series in the same figure to scale and inspected visually. As a result of these comparisons, the developed AR(0)+ARMA(1,1) model is observed to compute reasonable synthetic monthly flows series.  

Keywords: Stochastic models for monthly streamflows.

 

 

GİRİŞ

 

Barajların işletme hesapları çoğu kez aylık akımlar ile yapılmaktadır (Örneğin: Çukurova Elektrik A. Ş., 1986; EİE, 2006; USACE, 1985). Doğal akarsuyun gelecekteki akım düzeninin geçmiştekine benzer olacağı varsayımıyla, proje aşamasında ve mevcut yapının işletme çalışmasında baraj aksında ölçülmüş veya baraj aksına taşınmış gözlenmiş akım serileri yaygın olarak kullanılmaktadır. Gelecekteki akımların genel istatistiksel karakteristikleri geçmişte gözlenmiş akımlarınkiler ile aynı veya çok yakın olsa dahi, gelecekte geçmiştekinden daha kurak ve daha sulak birkaç yıllık süreçler vuku bulabilir. Dolayısıyla, 20.nci yüzyılın başlarından beri, gelecekteki akım serileri için, geçmiştekilerin temel istatistiklerini muhafaza ederek, sentetik akım türetme yöntemleri geliştirilmiştir. Bunların en yaygınları Box-Jenkins modelleri olarak tabir edilen, AR(p), MA(q), ARMA(p,q), ARIMA(p,l,q) sembolleriyle tanımlanan stokastik yöntemlerdir (örneğin: Beard ve ark, 1970; Box ve ark, 2008; Can ve Yardelen, 2005; Karabörk ve Kahya, 1999; Kottegoda, 1980). Sentetik akım türetmedeki amaç, 5Bin yıl, 10Bin yıl gibi büyük uzunlukta bir yapay akım serisi hesaplamak, bunu her biri 35’er veya 50’şer yıllık 100 veya 200 adet parçalara bölmek, hidroelektrik üretimi, sulama suyu, içme-kullanma suyu temini gibi gayelerle 100 veya 200 adet parçanın her biri ile ayrı ayrı işletme yapmak, elde edilen 100 veya 200 farklı bulgu ile olasılık-bazlı sonuca ulaşmaktır. Örneğin 50 yıllık bir gözlenmiş akım serisi, bir adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji bulgusu verirken, 100 adet 50’şer yıllık sentetik seri parçası ile 100 adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji değeri elde edilir. Ortalama yıllık hidroelektrik enerjinin bir rastgele değişken olduğu kabulü ile, bu 100 adet değere uygun bir olasılık dağılımı uydurularak, örneğin geçilme olasılığı % 90 olan ortalama yıllık hidroelektrik enerji hesaplanmış olur.

 

Uzun sentetik akım datası üretme amaçlı paket programlar mevcuttur. HEC4 (USACE, 1971), SPIGOT (Grygier ve Stedinger, 1990, 2001), SAMS2007 (Sveinsson ve ark, 2007) programları bilinenler olarak değerlendirilebilir. Sembolik olarak tasvir edildiğinde, HEC4, bir çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) aylık akım modelidir. SPIGOT, yıllık akımlara, isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu AR(1) modeli uyguladıktan sonra, detayları Grygier ve Stedinger (1990, 2001) tarafından açıklanan zamansal ayrıştırma veya mekânsal ayrıştırma yöntemleriyle aylık akımları hesaplamaktadır. SAMS2007 yıllık ve aylık akım serilerini ayrı olarak farklı birkaç modelle türetmektedir. SAMS2007 yıllık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(p,q) modeli, fakat aylık akımlar için çok-istasyonlu AR(p) modeli uygulayabilmektedir. SAMS2007 çok-istasyonlu aylık akımlar için yıllık akımlara uyguladığı çok-istasyonlu ARMA(p,q) modelinin verdiği yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları elde etmektedir (Sveinsson ve ark, 2007). SAMS2007 isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu modelleri ayrı ayrı uygulamaktadır (Sveinsson ve ark, 2007). HEC4, SPIGOT, ve SAMS2007’nin hiç birisi aylık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(1,1) modeli uygulamamaktadır. Bunların en kapsamlısı SAMS2007 gibi görülmektedir; çünkü SAMS2007 hem p’nin hem de q’nun 10 kadar yüksek seviyelere kadar çıkabildiği ARMA(p,q) modeli uygulamaktadır. Fakat, SAMS2007 bu modeli sadece çok-istasyonlu yıllık akımlara uygulayabilmekte, aylık akımlar istenirse, hesapladığı yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları hesaplamaktadır. Özeti bu bildiride sunulan bu çalışmada, HEC4, SPIGOT, ve SAMS2007’ninkilerden farklı bir yöntemle, en fazla 20 adet olabilen bir grup içinde M adet istasyondaki aylık akım serilerine doğrudan çok-istasyonlu AR0+ARMA(1,1) modeli uygulanmıştır. Analitik ve nümerik safhaları geliştirildikten sonra, bu model Fortran dilinde AR0ARMA11 adlı bir bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir gruptaki istasyon adedi en fazla 20, sentetik seri uzunluğu da en fazla 10bin yıl olmaktadır. Programda M adet her biri 10bin satırlı 12 sütunlu matrisin yanısıra, birçok aynı boyutta matrisler ve birçok uzun tek boyutlu diziler gerekmekte, bu haliyle program, 20 istasyonlu bir grubun 10Bin yıllık aylık akım serilerinin hesabı için 4 Giga byte RAM hafızası olan bir PC’de çalışmaktadır. Program, RAM hafızası 8 veya daha fazla GB olan PC’ler için gruptaki seri adedini 40’a veya hatta 50’ye çıkarılacak biçimde kolayca modifiye edilebilir.

 

 

MATERYAL VE METOT

 

Materyal

 

Bu çalışmanın materyali olarak, Elektrik İşleri Etüt İdaresi ve Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğünce ölçülmüş olan ülkemizdeki doğal akarsuların memba kısmında baraj bulunmayan akım rasat istasyonlarının aylık akım serileri kullanılmıştır. Doğu Karadeniz Bölgesinde, 22 nolu Müteferrik Doğu Akdeniz Suları ve 23 nolu Çoruh havzalarında 19 adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Ayrıca, 21 nolu Fırat ve 26 nolu Dicle havzalarında 19 adet, Ege Bölgesinde 3 nolu Susurluk, 4 nolu Müteferrik Ege Suları, 5 nolu Gediz, 6 nolu Küçük Menderes havzalarında 20 adet, ve İç Anadolu Bölgesinde 14 nolu Yeşilırmak, 15 nolu Kızılırmak, 16 nolu Orta Anadolu Kapalı havzalarında 16 adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Bu akım rasat istasyonlarında ölçülmüş olan aylık akım dataları 1962 – 2011 arası 50 yıllık süreç için alınmış, uygun dosyalara kaydedilmiştir. Bu istasyonlardan bir kısmı 1962’den daha sonra açıldığı için bazı seriler daha kısadır. Bazı serilerde de aralarda kayıt boşlukları vardır.

 

Su Kaynakları Mühendisliği alanında, HEC1, HEC-RAS gibi birçok paket programı A.B.D.’de, ülkemizde, ve birçok ülkede kullanılmakta olan A.B.D. Ordu Mühendisleri Birliği Hidrolojik Mühendislik Merkezi’nin aylık akım serilerinin, gözlenmiş olanlardaki eksikliklerin tamamlanması ve istenen uzunlukta sentetik seriler hesaplanması için çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) modeli uygulayan, HEC4 olarak bilinen bir paket programı da mevcuttur (USACE, 1971). SPIGOT ve SAMS2007’den farklı olarak HEC4, öncelikle kaydedilmiş doğal akım serilerinden eksik ayların değerlerini de aynı model ile hesaplamakta ve gruptaki bütün istasyonların eksik akımlarını tamamlamaktadır. Bu çalışmada, gözlenmiş akımların eksiklerinin hesaplanması kısmında HEC4 programının AR(0)+AR(1) modelindeki rastgele bileşen kaldırılmış, o ayın ve bir önceki ayın açıklayıcı değişkenler olduğu çoklu lineer regresyon kullanılmıştır. Detayları burada sunulmayan, ölçülmüş birçok akımı seriden çıkarıp HEC4’e hesaplattırarak yapılan çok sayıda kombinezon sonucu, rastgele bileşensiz çoklu-regresyonun gözlenmiş serilerdeki eksik akımları daha duyarlı olarak hesapladığı görülmüştür. 1970’te geliştirilmiş olan HEC4 programı, o zamanki bilgisayarların hafıza kapasitesinden dolayı, bir grupta en fazla 10 seri almakta ve en fazla 100 yıl süreli sentetik seri hesaplayabilmektedir (USACE, 1971). Daha uzun sentetik serileri 100’er yıllık parçalar halinde hesaplamakta, bunları kısımlar halinde yardımcı hafızaya kaydetmektedir. Bu çalışmada, önce eksik akımların tamamlanmasında yapılan değişikliğin yanısıra, HEC4, bir grupta 20 seri alacak biçimde ve parçalara ayırmadan bir seferinde 10Bin yıla kadar süreli sentetik seri hesaplayacak biçimde modifiye edilmiştir. Dolayısıyla, yukarıda özetlenen gruplar öncelikle modifiye HEC4 ile çalıştırılmış ve gruplardaki istasyonların gözlenmiş aylık akım serileri 1962 – 2011 süreci için tamamlanmıştır. Böylece tamamlanan doğal akım serileri, bu çalışmada geliştirilmiş olan AR0ARMA11 programının giriş datasını teşkil etmiştir. Bu bildiride, yukarıda bahsedilenlerden Fırat-Dicle grubu içindeki, Tohma Suyu üzerinde 2145 nolu Hisarcık akım rasat istasyonu örnek olarak verilecektir. 2145-Hisarcık istasyonunun drenaj alanı 5780.8 km2 olup, 1963 – 2011 sürecinde eksiksiz gözlenmiş datası bulunmaktadır.

 

Metot

 

En fazla 20 istasyonun bir grupta bulunabileceği, en fazla 10Bin yıla kadar uzunlukta aylık akımların AR(0)+ARMA(1,1) modeli ile sentetik olarak hesabı için geliştirilmiş olan çok-istasyonlu model aşağıda özetlenen adımları içermektedir.

 

1) Her istasyonun n´12 adet elemanı bulunan gözlenmiş aylık akım serisine Qi = A´ti + B ifadesi ile tanımlı lineer trend analizi yapılır. Bu ifadedeki ti, Qi aylık akımın n´12 aylık süreçteki tam sayı konum değeridir. Burada, n´12 adet aylık akım değerleri kullanılarak A ve B katsayıları en-küçük-kareler yaklaşımlı regresyonla hesaplanır. A katsayısının t değeri ve A’nın % 99 anlamlılıkta çift taraflı güven aralığı hesaplanarak gözlenmiş aylık akımlar serisinin lineer trendi olup olmadığına karar verilir. Örneğin, bu çalışmada alınanlardan, 19 istasyon içeren Fırat-Dicle grubunda 5 istasyonda azalan trend görülmüştür. Karadeniz grubu hariç, diğer iki grupta da bazı istasyonlarda azalan trend bulunmuştur. Öncelikle trend bulunan bir istasyonun n´12 adet aylık akım değerlerinin hepsi, artan trend varsa aynı eğimle azaltılmakta, azalan trend varsa aynı eğimle arttırılmakta, ve böylece ortalaması zaman göre sabit bir gözlenmiş akım serisi elde edilmektedir.

 

2) Her istasyonun kesiksiz n yıllık aylık akımlar serisi bulunan, M adet istasyon içeren gruptaki her istasyonun her ayının akım serisinin ortalaması, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı hesaplanır.

 

3) Her istasyonun n´12 adet standardize değişken serisi aşağıdaki eşitlik ile hesaplanır.

 

zi,k = (Ql,j,k – ortj,k ) / ssj,k , l = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., 12, k = 1, 2, …, M,  i = 1, 2, ..., n´12                              (1)

 

Burada, Ql,j,k : k.nıncı istasyon akım serisinin, l.ninci yılının, j.ninci ayındaki akım değeri (hm3/ay), ortj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin ortalaması (hm3/ay), ssj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin standart sapması (hm3/ay), zi,k : k.nıncı serinin standardize değişkenidir (boyutsuz, toplam n´12 adet elemanlı tek seri).

 

4) Her istasyonun n´12 adet standart-normal değişken serisi (ui,k), parametreleri, momentler, olasılık-ağırlıklı momentler (OAM), maksimum-olabilirlik (MO), sıfır-çarpıklık yöntemlerinden en uygun olanı ile hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım (LN3) dönüştürümü ile hesaplanır. Oldukça kapsamlı ara adımlar ve hesaplar gerektiren bu kısmın özeti bildiriyi uzatmamak amacıyla verilmeyecektir. Arzu eden herkese sunulabilir. Parametreler hesaplandıktan sonra LN3 dağılımı ile standart-normalizasyon dönüştürümü aşağıdaki eşitliklerle yapılır.

 

ui,k = [ln(zi,k – ck) – ln(bk)] / ak  , zi,k serisinin çarpıklık katsayısı > +0.05 ise                              (2.1)

ui,k = [ln(ck – zi,k) – ln(bk)] / ak  , zi,k serisinin çarpıklık katsayısı < –0.05 ise                               (2.2)

 

Bir istasyonun zi,k serisinin çarpıklık katsayısı –0.05, +0.05 aralığında kalırsa zi,k serisinin standart-normal dağılımlı olduğu kabul edilerek doğrudan ui,k = zi,k alınır. Bu çalışmada data olarak kullanılan ülkemizden 74 istasyonun hiçbirinde bu durum oluşmamıştır. Şekil 1’de 2145-Hisarcık istasyonunda standardize değişkenin, Şekil 2’de de standart-normal değişkenin QQ grafikleri verilmektedir. Şekil 2’deki noktalar Şekil 1’dekine göre 45 derecelik doğruya daha yakın bir konumda olduğundan dolayı LN3-MO dağılımı ile dönüştürülmüş standart-normal serinin standardize seriye nazaran standart-normal dağılıma daha iyi uyduğu söylenebilir.

 

 

Şekil 1. 2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standardize edilmiş elemanlarının QQ grafiği.

 

 

 

Şekil 2. 2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standart-normalize edilmiş elemanlarının QQ grafiği.

 

 

5) M adet istasyondan 1.inci istasyonun sentetik standart-normal değerleri AR(0)+ARMA(1,1) modelinde aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.

 

         M           M

ui,1 = ∑ βk∙ui,k + ∑ ϕk∙ui–1,k + ηi – θ∙ηi–1  ,   i = 1, 2, . . ., n´12                                                    (3)

        k=2         k=1

 

Burada, βk : ui,1’i diğer M–1 adet istasyonun o ayki u’larına iliştiren AR(0) parametreleri, ϕk∙: ui,1’i kendisi dahil bütün M adet istasyonun bir ay önceki u’larına iliştiren AR(1) parametreleri, ηi : ortalaması sıfır, varyansı (1–R2)’ye eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci aydaki değeri, θ : ui,1’i rastgele bileşenin bir ay önceki değerine iliştiren MA(1) parametresidir. (1–R2)’deki R2, n´12 adet gözlenmiş serinin ui,1’leri ile (3) eşitliğinin hesapladığı ui,1’ler arasındaki ilişkinin determinasyon katsayısıdır (Box ve ark, 2008). Görüldüğü gibi, bir grupta M adet istasyon var ise, AR(0)+ARMA(1,1) modelinin toplam 2´M adet parametresi bulunmaktadır. (1–R2) aşağıdaki gibi tanımlıdır (Örneğin: Montgomery ve ark 2001).

 

 

 

          n´12                                  n´12

1–R2 = ∑ (ui,1-gözlenen – ui,1-hesaplanan)2 / ∑ (ui,1-gözlenen – u1-ortalama)2                                                   (4)

           i=1                                     i=1

 

Burada, u1-ortalama : n´12 adet ui,1-gözlenen’lerin aritmetik ortalaması, ui,1-hesaplanan’lar da (3) eşitliği ile hesaplanan ui,1’lerdir. (4) eşitliği genel olup, (3) eşitliğinden farklı bir eşitlik için de geçerlidir ve o eşitliğin (1–R2)’sini verir.

 

(3) eşitliğindeki rastgele bileşen bu çalışmada aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

 

Pnexi = ursi                                                                                                                             (5)

sndi = Φ(Pnexi)                                                                                                                                              (6)

ηi = ση ∙ sndi                                                                                                                            (7)

 

Burada, ursi : alt sınırı 0, üst sınırı 1 olan üniform dağılımlı (kenar uzunluğu 1 olan kare) bir rastgele sayı, Pnexi : ursi’ye eşit alınan, ηi’nin küçük-kalma olasılığı, Φ(Pnexi): standart-normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu inversinin Pnexi argümanı için verdiği nümerik değer, ση : ηi’nin standart sapmasıdır ve ση = (1–R2)1/2’dir. Bu çalışmada ursi, Numerical Recipes (Press ve ark, 1992) kitabında verilen RAN1 adlı alt-program ile, Φ(Pnexi) te Odeh ve Evans’ın (1974) 8 anlamlı hane duyarlılığındaki nümerik yöntemiyle hesaplanmaktadır.

 

6) (3) eşitliğindeki M–1 adet βk, M adet ϕk, ve bir adet θ parametresi, M adet her biri n×12 elemanlı aylık akım serilerinin dönüştürülmüş ui,k değerleri ve (5), (6), (7) eşitliklerinden elde edilmiş n×12 elemanlı ηi serisi kullanılarak, (3) eşitliğiyle hesaplanan ui,1’ler ile gözlenmiş ui,1’ler arasındaki farkların karelerinin toplamını minimum yapacak biçimde, diğer bir deyişle en-küçük-kareler yöntemiyle hesaplanmaktadır. Anılan farkların karelerinin toplamı aşağıdaki gibidir.

 

           n×12

FKT1 = ∑ (ui,1-hesaplanan – ui,1-gözlenen)2                                                                                         (8)

            i=1

 

Burada, ui,1-hesaplanan için (3) eşitliğinin sağ tarafı ve ui,1-gözlenen için de kısa olması amacıyla ugi,1 sembolü kullanıldığında FKT1 aşağıdaki gibi yazılabilir.

 

           n×12   M                        M

FKT1 =  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k + ∑ ϕk∙ugi–1,k + ηi – θ∙ηi–1 ] – ugi,1}2                                                     (9)

             i=1   k=2         k=1

 

FKT1’i minimum yapan parametreleri bulabilmek için FKT1’in her bir parametreye göre kısmi türevini alıp bunları sıfıra eşitleyerek oluşturulan denklem takımını parametreler için çözmek gerekir. FKT1’in β2’den βM’ye kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                     M                                         n×12

  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi,m + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi,m – θ∙ηi–1∙ugi,m ] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi,m , m = 2, 3, …, M    (10)

 i=1   k=2                   k=1                                           i=1

 

FKT1’in ϕ1’den ϕM’ye kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                       M                                             n×12

  ∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi–1,m + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi–1,m – θ∙ηi–1∙ugi–1,m] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,m , m = 1, 2, …, M                       (11)

 i=1   k=2                    k=1                                            i=1

 

FKT1’in θ’ya göre kısmi türevinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlik aşağıdaki gibi olur.

 

n×12  M                    M                                               n×12

  ∑ {[ ∑ βk·ugi,k∙ηi–1 + ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ηi–1 – θ∙(ηi–1)2] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ηi–1                                         (12)

 i=1   k=2                   k=1                                 i=1

 

(10) eşitliklerinden M–1 adet, (11) eşitliklerinden M adet, ve (12) eşitliğinden de 1 adet lineer denklem elde edilir. Böylece, 2×M adet bilinmeyene karşılık 2×M adet lineer denklem elde edilmiş olur. (10), (11), ve (12) eşitliklerinin oluşturduğu lineer denklemler takımı AX = B sembolleri ile öz bir biçimde yazılırsa, X bilinmeyenler vektörünün, A katsayılar matrisinin, ve B yük vektörünün elemanları aşağıdaki gibidir.

 

x1 ≡ β2, x2 ≡ β3, . . ., xM–1 ≡ βM, xM ≡ ϕ1, xM+1 ≡ ϕ2, . . ., x2M–1 ≡ ϕM, x2M ≡ θ

 

a1,1 = S ugi,22 , a1,2 = S ugi,3∙ugi,2 , . . ., a1,M–1 = S ugi,M∙ugi,2 , a1,M = S ugi–1,1∙ugi,2 ,

a1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,2 , . . ., a1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,2 , a1,2M = S ηi–1∙ugi,2  

 

a2,1 = S ugi,2∙ugi,3 , a2,2 = S ugi,32  , . . ., a2,M–1 = S ugi,M∙ugi,3 , a2,M = S ugi–1,1∙ugi,3 ,

a2,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,3 , . . ., a2,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,3 , a2,2M = S ηi–1∙ugi,3  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aM–1,1 = S ugi,2∙ugi,M , aM–1,2 = S ugi,3∙ugi,M  , . . ., aM–1,M–1 = S ugi,M2 , aM–1,M = S ugi–1,1∙ugi,M ,

aM–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,M , . . ., aM–1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi, M , aM–1,2M = S ηi–1∙ugi,M  

 

aM,1 = S ugi,2∙ugi–1,1 , aM,2 = S ugi,3∙ugi–1,1  , . . ., aM,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,1 , aM,M = S ugi–1,12 ,

aM,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,1 , . . ., aM,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,1 , aM,2M = S ηi–1∙ugi–1,1  

 

aM+1,1 = S ugi,2∙ugi–1,2 , aM+1,2 = S ugi,3∙ugi–1,2  , . . ., aM+1,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,2 , aM+1,M = S ugi– 1,1∙ugi–1,2 , aM+1,M+1 = S ugi–1,22 , . . ., aM+1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,2 , aM+1,2M = S ηi–1∙ugi–1,2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a2M–1,1 = S ugi,2∙ugi–1,M , a2M–1,2 = S ugi,3∙ugi–1,M , . . ., a2M–1, M–1 = S ugi,M∙ugi–1,M

a2M–1,M = S ugi–1,1∙ugi–1,M , a2M–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,M , . . ., a2M–1,2M–1 = S ugi–1,M2 , a2M–1,2M = S ηi–1∙ugi–1,M

 

a2M,1 = S ugi,2∙ηi–1 , a2M,2 = S ugi,3∙ηi–1  , . . ., a2M,M–1 = S ugi,M∙ηi–1 , a2M,M = S ugi–1,1∙ηi–1 ,

a2M,M+1 = S ugi–1,2∙ηi–1 , . . ., a2M,2M–1 = S ugi–1,M∙ηi–1 , a2M,2M = S ηi–12  

 

b1 = S (ugi,1ηi)∙ugi,2 , b2 = S (ugi,1ηi)∙ugi,3 , . . ., bM–1 = S (ugi,1ηi)∙ugi,M , bM = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,1 ,

bM+1 = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,2 , . . ., b2M–1 = S (ugi,1ηi)∙ugi–1,M , b2M = S (ugi,1ηi)∙ηi–1

 

Yukarıda özetlendiği biçimde oluşan AX = B takımının en fazla 40 adet denklemi oluşmaktadır. Genel programda diziler ve matrisler 7 anlamlı haneli olarak işlenirken, AX = B sisteminin bilinmeyen vektörü 16 anlamlı haneli olarak Gauss-Jordan yöntemiyle hesaplanmaktadır.

 

7) n×12 adet rastgele bileşenin değerleri (4) ve (7) eşitliklerinden dolayı henüz hesaplanmamış olan parametrelere bağlı olduğu için parametrelerin hesabı iteratif bir yöntem gerektirmektedir. 0 ile +1 arasındaki (1–R2)’nin olması gereken değerini hesaplamak için öncelikle (3) eşitliğindeki son iki terimin kaldırıldığı doğrudan, 2×M–1 adet açıklayıcı (bağımsız) değişkeni olan çoklu lineer regresyonun (1–R2)’si hesaplanmaktadır. Gerçek (1–R2) için bunu başlangıç tahmini alan Kiriş yöntemi ile (1–R2) değişmez oluncaya kadar iterasyonlar devam etmekte son iterasyondaki 2´M adet parametre çok-serili AR(0)+ARMA(1,1) modelinin parametreleri olmaktadır. Her iterasyonda yukarıda özetlenen AX = B sistemi çözülmektedir.

 

8) 1 nolu istasyonun i.ninci ayının standart-normal değerini gruptaki diğer M–1 adet istasyonun aynı aydaki standart-normal değerlerine (ui,k’lara) iliştirdiği için (3) eşitliğindeki ilk terimden dolayı parametrelerin belirlenmesini takiben N yıllık sentetik ui,1 serisi direkt olarak hesaplanamaz. Çünkü diğer istasyonların o ayki standart-normal değerleri henüz hesaplanmamıştır. Kapsamlı bir iteratif yöntem gerekmektedir. M adet serinin her birinin N´12 adet ui,k’ları doğru olarak hesaplandığında, bu bilinen ui,k’lar ve ui–1,k’lar (3) eşitliğine konduğu vakit hesaplanan ui,1’ler artık belirlenmiş olan ui,1’lere kabul edilebilir bir duyarlılıkta eşit olmak zorundadır. Bu kapsamlı iteratif döngüler içeren yöntem bu kısımda özetlenmektedir. Öncelikle, (3) eşitliğinin daha basit bir hali olan ilk teriminin çıkarıldığı model ele alınır. Bu, çok-serili ARMA(1,1) modelidir. Bu sade modelde ui,1 bir önceki ayların standart-normal değerlerine (ui–1,k’lara) iliştirildiği için, sentetik ui,1’lerin hesabı doğrudan yapılabilir. Fakat, bu çalışmada uygulanan AR0+ARMA(1,1) modelinden daha sade bir model olan ARMA(1,1) modeli tabi ki ilkinden daha farklı ui,1’ler hesaplayacaktır. Bu çalışmada, sade modelin verdiği ui,1’ler asıl modelin hesaplayacağı ui,1’ler için başlangıç tahminleri olarak kullanılmaktadır. Çok-serili ARMA(1,1) modelinin M adet parametresi bulunmaktadır. Yukarıda, buraya kadar özetlenen çok-serili AR0+ARMA(1,1) modelinin parametrelerinin hesabı için uygulanan en-küçük-kareler yöntemi bu çok-serili ARMA(1,1) modeli için de uygulanmakta, sonra N´12 adet ui,1’ler hesaplanmaktadır. Son iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin ortalamasının bir önceki iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin ortalamasından olan mutlak farkın 0.0001’den (10–4)  küçük olduğunda asıl modelin yeterli hassasiyette ui,1’leri hesapladığı kabul edilmiştir. Bu kriter, 20 adet istasyonlu bir grupta 20 adet serinin her birinin toplam 120Bin adet ui,k’ları olan 10Bin yıllık sentetik serilerde 50 ile 100 arası iterasyon gerektirmektedir. Yakınsama kriteri10–4 yerine 10–6 alındığında iterasyon sayısı 10 ~ 20 civarında artmaktadır. Hesaplanan ui,k’ların büyük çoğunluğu –5, +5 aralığında küçük boyutlu reel sayılar olduğu için ortalamalardaki farkın 0.0001 olması yeterlidir. Son iki iterasyonda ortalamalar arasındaki fark yeterli hassasiyette değilse, N´12 adet yeni iterasyon değerleri aşağıdaki eşitlik ile hesaplanmaktadır.

 

Yeni ui,1 = AK1´(bir önceki iterasyondaki ui,1) + AK2´(son iterasyondaki ui,1)                           (13)

 

Burada, AK1 : bir önceki iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısı, AK2 : son iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısıdır, ve bunlar, son iki iterasyondaki N´12 adet ui,1’ler serilerinin standart sapmalarının değerlerine göre aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. 

 

AK1 = SS1 / (SS1 + SS2) , AK2 = SS2 / (SS1 + SS2)                                                    (14.1), (14.2)

 

Bu iterasyonlarda 1.inci istasyonun dışındaki diğer M–1 adet istasyonun ui,1’leri en son değerlerinde sabit kalır. İlk iterasyonda M–1 adet istasyonun ui,k’ları çok-serili ARMA(1,1) modelince hesaplanan değerler olarak kalır. 

 

9) Yukarıdaki paragraflarda özetlendiği biçimde M adet seriden 1.inci serinin N´12 adet ui,1’leri yeterli hassasiyette hesaplandıktan sonra, serilerin yerleri bir sıra geriye gidecek biçimde değiştirilmektedir. Baştaki dizilişte 2.nci olan 1.inciye, 3.üncü olan 2.nciye, …, M.inci olan M–1.inciye kaydırılırken, en baştaki 1.inci de M.inci olarak değiştirilir. Bu değişim yapıldıktan sonra, serilerin ui,k’larının en son değerleri ile yukarıdaki 5.inci şıkka gidilir ve büyük döngü iterasyonlar, M adet serinin tamamının son iki iterasyonların N´12 adet ui,1’leri ortalamaları mutlak farkı 0.0001’den (10–4) küçük kalana kadar devam eder. N = 10Bin iken 20 istasyonlu bir grupta 80 civarında büyük iterasyon döngüsü sonunda M adet serinin N´12 adet ui,1’leri değişmez olmaktadır.

 

10) (3) eşitliği ile M adet istasyonun N´12 adet ui,k’ları hesaplandıktan sonra, LN3 dağılımı ile ui,k’lar (2) eşitliklerinin inversleri olan aşağıdaki eşitlikler kullanılarak zi,k’lara dönüştürülür.

 

zi,k = ck + exp[ui,k × ak + ln(bk)],  baştan z’lerin çarpıklık katsayısı pozitif ise                                        (15.1)

zi,k = ck – exp[ui,k × ak + ln(bk)],  baştan z’lerin çarpıklık katsayısı negatif ise                                        (15.2)

 

Sonra, zi,k’lar, (1) eşitliğinin inversi olan aşağıdaki eşitlik kullanılarak aylık akımlara dönüştürülür.

 

Ql,j,k = zi,k × ssj,k + ortj,k  , k = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, 12, l = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, N´12      (16)

 

11) Başta gözlenmiş akım serisinde trend tespit edilen bir istasyonun N-yıllık sentetik akım serisinin her bir n-yıllık parçasının n´12 adet akım değerleri, Qi = A´ti + B ifadesi ile trende uygun olarak değiştirilmektedir. Trend ifadesi, uzun sentetik serinin N´12 adet akımlarına baştan sona uygulanmamaktadır.

 

BULGULAR, SONUÇ, VE TARTIŞMA

 

Çalışmanın bir yan ürünü olarak, ülkemizin değişik bölgelerinden toplam 74 akım rasat istasyonunda, 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım serilerinin, % 99 anlamlılık seviyesinde lineer regresyon yöntemiyle yapılmış trend analizi sonuçları vardır. Doğu Karadeniz grubundaki 19 istasyondan hiçbirinin 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım serilerinde trend bulunmamıştır. Aynı süreç için, Ege Bölgesindeki grupta, dört havzadan 20 akım rasat istasyonunun 19’unda, Yeşilırmak, Kızılırmak, ve Orta Anadolu havzalarındaki 16 istasyonluk grupta 8 istasyonda, Fırat-Dicle grubundaki 19 istasyonun 5 adedinde azalan trend görülmüştür. Toplam 74 adet gözlenmiş aylık akım serilerinden hiç birinde artan trend bulunmamıştır.

 

Bu çalışmada, kendine özgü bir yaklaşımla, akım özelliklerinin benzer olduğu beklenen bir bölgedeki en fazla 20 akım rasat istasyonunda n yıllık gözlenmiş aylık akım serilerini alıp, her istasyon için N yıllık sentetik aylık akım serileri üreten bir model geliştirilmiş ve Fortran dilinde bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir tür Box-Jenkins modeli olan bu çalışmanın modeli, genelde kullanılan sembollerle, bir ‘çok-serili AR(0)+ARMA(1,1)’ modelidir. Bu modelin, GİRİŞ kısmında bahsedilen HEC4, SAMS2007, ve SPIGOT modellerinden diğer bir farkı da, gruptaki her bir istasyonda aylık akım serilerine % 99 anlamlılık seviyesinde lineer trend analizi yapmasıdır. Trend bulunan bir serinin n´12 adet bütün gözlenmiş akımları, trend doğrusunun eğimi ile aynı oranda, azalan trend olan seri için arttırılmakta artan trend için azaltılmakta, böylece en başta, modelin diğer aşamalarına geçmeden, ortalama değeri zamana göre sabit bir seriye dönüştürülmektedir. En sonunda, trend olan bir istasyonun sentetik aylık akımları (16) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, N yıllık sentetik serinin n-yıllık parçalarının her birine ayrı ayrı, baştan elde edilen Qi = A´ti + B ifadesi ile trend uygulaması yapılmaktadır.

 

Programın çıktı dosyalarından, istatistiksel özellikleri özetleyen olanının sonunda, 12 ayın her birinin n-yıllık gözlenmiş akımlarının ortalaması, varyasyon katsayısı, ve çarpıklık katsayısı ve aynı rakamların altında N/n adet her biri n-yıllık sentetik aylık akım serilerinin ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama değerleri verilmektedir. Çizelge (1)’de Fırat-Dicle grubunda bu çalışmada örnek olarak seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun bu istatistikleri verilmektedir. Diğer 18 istasyonun ve diğer gruplardaki bütün istasyonların anılan istatistikleri benzer yapıdadır. Bu çıktıların incelenmesinden 200 adet 50’şer yıllık ortalama ve varyasyon katsayıları ortalama değerlerinin 50’şer yıllık gözlenmiş akım serilerinkilere çok yakın olduğu görülmüştür. Çarpıklık katsayılarında uyum diğer ikisi kadar iyi gözükmemektedir.

 


 

 

Çizelge 1. Fırat-Dicle grubundaki istasyonlardan 2145-Hisarcık istasyonu 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisinin ortalama, varyasyon katsayısı, çarpıklık katsayısı değerleri, ve bu çalışmada geliştirilen modelin hesapladığı her biri 50-yıllık 200 adet sentetik serinin ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama değerleri.

 

               ORTALAMA DEĞER (hm3/ay)     VARYASYON KATSAYISI    ÇARPIKLIK KATSAYISI

AYLAR     Doğal seri    200 sentetik               Doğal seri     200 sentetik          Doğal seri     200 sentetik

                  değeri          seri ortalaması           değeri           seri ortalaması       değeri            seri ortalaması

 

Ekim         46.4              46.5                        0.24              0.24                                   1.00                0.50

Kasım       47.3              47.3                        0.23              0.22                                   1.10                0.52

Aralık        48.2              48.2                        0.24              0.23                                   1.18                0.51

Ocak         47.2              47.1                        0.23              0.22                                   1.04                0.47

Şubat        45.7              45.8                        0.24              0.23                                   0.81                0.48

Mart          82.0              82.1                        0.38              0.37                                   2.34                0.49

Nisan      107.2            107.2                        0.49              0.48                                   1.17                0.53

Mayıs        87.1              87.4                        0.47              0.46                                   1.20                0.52

Haziran                 59.2              59.1                        0.40              0.40                                   0.73                       0.50

Temmuz    46.4                         46.7                        0.39              0.38                                   1.09                       0.51

Ağustos     41.3                          41.4                        0.38              0.37                                   0.97                       0.48

Eylül         39.9              39.8                        0.32              0.31                                   0.90                0.57

 

 

Bu modelin, Fırat ve Dicle havzalarında, içinde 19 adet, memba kısmında baraj olmayan akım rasat istasyonunun bulunduğu gruba uygulanması sonucu, 50’şer yıllık gözlenmiş aylık akımlar giriş datası ile 10Bin’er yıllık sentetik aylık akımlar hesaplanmıştır. Bu 19 istasyonluk grupta azalan trend gösteren 5 adet istasyondan rastgele seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun 10Bin yıllık sentetik serisinden elde edilen 200 adet, çakışmayan, her biri 50 yıllık sentetik aylık akım serilerinden baştakinin (1.incisinin), ortadakinin (100.üncüsünün), ve sonuncusunun (200.üncüsünün) 600’ar aylık akımlarının görünümleri 3, 4, ve 5 nolu şekillerde 50 yıllık doğal akım serisi ile birlikte sunulmaktadır. Bu şekillerin göreceli incelenmesinden, burada özetlenen bu stokastik modelin makul sentetik akımlar hesapladığı söylenebilir.

 

 

 

Şekil 3. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 1.inci 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.

 

 

Şekil 4. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 100.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.

 

 

Şekil 5. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 200.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serileri.

 

 

KAYNAKLAR

 

Beard L R, Fredrich A J, Hawkins E F (1970) Estimating Monthly Streamflows within a Region,TP 18. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers, Davis, CA.

Box G E P, Jenkins G M, Reinsel G C (2008) Time Series Analysis Forecasting and Control, Fourth Edition, John Wiley & Sons Inc., Hoboken, New Jersey, USA.

Can I and Yerdelen C (2005) Auto-regressive moving-average (ARMA) modeling of monthly flows of M Kemal Pasa River, Susurluk Basin. Journal of Faculty of Engineering and Architecture of Selcuk University, 20(3), 25–34.

Çukurova Elektrik A. Ş. (1986) Sır Dam and Hydroelectric Project, Water Potential and Power Studies (Revision). Coyne et Bellier, Bureau d’Ingenieurs Conseils, Paris, France, Aknil Engineers Consultants, Ankara, Turkey.

EİE (2006) Ağaçhisar Barajı ve HES için Fizibilite Raporu, Susurluk – Orhaneli Çayı Havzasındaki Enerji Projeleri. Elektrik İşleri Genel Müdürlüğü, Ankara.

Grygier J C and Stedinger J R (1990) SPIGOT, A Synthetic Streamflow Generation Software Package, Technical Description, Version 2.6. School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.

Grygier J C and Stedinger J R (2001) SPIGOT, A Synthetic Streamflow Generation Software Package, User’s Manual, Version 2.7. School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.

Karabörk M Ç and Kahya E (1999) Multivariate stochastic modeling of monthly streamflow of rivers in Sakarya Basin (in Turkish). Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences, 23(1999), 133–147.

Kottegoda (1980) Stochastic Water Resources Technology, The MacMillan Press Ltd., Hong Kong.

Montgomery D, Peck E, Vining G (2001) Introduction to Linear Regression Analysis. 3rd edition, John Wiley, New York.

Odeh R E and Evans J O (1974) Algorithm AS 70: percentage points of the normal distribution. Applied Statistics, 23, 96-97.

Press W H, Teukolsky S A, Vetterling W T, Flannery B P (1992) Numerical Recipes in Fortran 77, The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge University Press, UK.

Sveinsson O G B, Salas J D, Lane W L, Frevert D K (2007) Stochastic Analysis, Modeling, and Simulation (SAMS) Version 2007, User’s Manual. Computing Hydrology Laboratory, Department of Civil and Environmental Engineering, Colorado State University, Fort Collins CO, USA.

USACE (1971) HEC4 Monthly Streamflow Simulation User’s Manual. US Army Corps of Engineers, Institute for Water Resources, Hydrologic Engineering Center, 609 Second Street, Davis, CA 95616, USA.

USACE (1985) Engineer Manual EM-1110-2-1701 Hydropower. US Army Corps of Engineers, Washington, D.C., 20314-1000.