10. Ulusal Hidroloji Kongresi, Muğla, Turkey, 9 - 12 October 2019, vol.1, no.1, pp.149-161
SENTETİK
AYLIK AKARSU AKIMLARI İÇİN ÇOK SERİLİ AR(0)+ARMA(1,1) MODELİ
Tefaruk HAKTANIR1 M. Bircan KARA2 Neşe AÇANAL3
ÖZET
20 adede kadar akım rasat istasyonunda gözlenmiş aylık akım
serilerini bir grup içinde giriş datası olarak alıp, her bir istasyonda 10Bin
yıla kadar süreç için sentetik aylık akım serilerini hesaplayan,
AR(0)+ARMA(1,1) sembolü ile temsil edilen bir çok-serili stokastik model
geliştirilmiştir. Öncelikle, gruptaki M adet istasyonun modifiye-HEC4 programınca
eksikleri tamamlanmış n-yıllık gözlenmiş aylık akım serileri giriş datası
olarak okunmaktadır. Model, her serinin aylık akımlarını o ayın ortalamasından
çıkarıp standart sapmasına bölerek mevsimlik periyotları ayıklamakta, çarpıklık
katsayısı mutlak değeri 0.05’den büyük olan standardize serileri, parametreleri
uygun bir yöntemle hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım ile standart-normal
dağılımlı serilere dönüştürmektedir. M adet, n´12 elemanlı
standart-normal değişken serilerinden k.nıncı serinin i.ninci elemanı (ui,k),
diğer M–1 adet serinin i.ninci elemanlarına (AR(0)), M adet serinin i–1.inci
elemanlarına (AR(1)), ve ortalaması 0, varyansı 1 eksi modelin determinasyon
katsayısına eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci ve i–1.inci
elemanlarına (MA(1)) lineer olarak iliştirilmektedir. Toplam 2´M
adet parametre, M adet n´12 elemanlı ui,k serilerini kullanan,
en-küçük-kareler yaklaşımıyla oluşan kapsamlı bir iteratif yöntemle
hesaplanmaktadır. Sentetik ui,k’ların hesabı da ayrı bir kapsamlı
iteratif yöntem gerektirmektedir. Daha sade çok-serili ARMA(1,1) modeli ile
hesaplanan ui,k’lar AR(0)+ARMA(1,1) modelinin başlangıç tahminleri
olarak alınmaktadır. Son iki iterasyonun N´12 adet ui,k
değerlerinin aritmetik ortalamaları yeterli anlamlılıkta değişmeyinceye kadar
iterasyonlar devam etmektedir. Baştan yapılan standardizasyon ve standart-normalizasyon
dönüşümlerinin inversleri uygulanarak N´12 adet sentetik ui,k
değerleri sentetik akım değerlerine dönüştürülmektedir. Model, Türkiye’nin dört
farklı bölgesinde, 50-yıllık gözlenmiş akım serileri bulunan, 16 – 20 arası
adette istasyonlu gruplara uygulanmış, 10Biner yıl süreçli aylık sentetik akım
serileri hesaplanmış, sentetik serilerin 200 adet 50-şer yıllık parçalarının ortalama
değer ve standart sapmalarının ortalamaları gözlenmişlerinkilerle
karşılaştırılmıştır. Ayrıca, baştaki, ortadaki, ve sondaki 50’şer yıllık sentetik
seriler, gözlenmiş serilerle birlikte aynı şekil içinde ayrı ayrı çizdirilmiş,
görünümleri gözle incelenmiştir. Bu karşılaştırmalar sonucu, bu çalışmada
geliştirilmiş olan AR(0)+ARMA(1,1) modelinin makul sentetik aylık akımlar serileri
hesapladığı gözlenmiştir.
Anahtar
Kelimeler: Aylık akarsu akımları için stokastik modeller.
ABSTRACT
A multi-series stochastic
model symbolized by AR(0)+ARMA(1,1) is developed which, by taking the observed
monthly streamflows series of as many as 20 gauging stations in one group as
the input data, computes synthetic monthly streamflows up to 10thousand years
at each station. Initially, the set of complete n-year-long series of monthly
flows observed at M number of gauging stations reconstituted by the
modified-HEC4 package program is taken as the input data. The model extracts
the seasonal periodicities by subtracting its sample mean from each monthly
flow and then dividing by its standard deviation. Next, each series of n´12 elements standardized as such is further
standard-normalized if the absolute value of its skewness coefficient turns out
to be greater than 0.05 by a 3-parameter log-normal distribution whose
parameters are computed by a suitable method. The i’th element of the k’th
series of each one of such determined M series (ui,k) is linearly related to the i’th
elements of the other M–1 series (AR(0)), to the (i–1)’st elements of M series
(AR(1)), and to the i’th and (i–1)’st elements of a normally-distributed random
component whose mean is zero and standard deviation equals 1 minus the
determination coefficient of the model (MA(1)). Computation of 2´M number of parameters is done by the
least-squares approach, which necessitates a comprehensive iterative scheme. Computation
of the ui,k’s
of the synthetic series also necessitates another comprehensive iterative
procedure. N´12 synthetic ui,k’s of each series computed by the
simpler multi-series ARMA(1,1) model are taken as the initial estimates of the ui,k’s by the AR(0)+ARMA(1,1) model. The
iterations continue until the overall averages the ui,k’s of the last two iterations come
close to each other at a sufficient significance level. The inverse expressions
of first the standardizations and next the standard-normalizations are applied
to the final N´12 element ui,k series and finally N-year-long
synthetic series of monthly flows are computed for each one of M stations in
the group by those conversions. The model is applied to four groups from various
regions of Turkey comprising between 16 and 20 stations in each group, and synthetic
series of monthly flows for a period of 10thousand years are computed at each
station, and the averages of sample means and of sample standard deviations of
200 50-year-long segments of the synthetic series are compared with those of
the observed series of monthly flows. The first, the middle, and the last
50-year long portions of the 10thousand-year-long synthetic series are drawn
together with the observed series in the same figure to scale and inspected
visually. As a result of these comparisons, the developed AR(0)+ARMA(1,1) model
is observed to compute reasonable synthetic monthly flows series.
Keywords: Stochastic models for monthly
streamflows.
GİRİŞ
Barajların işletme hesapları çoğu kez aylık akımlar ile
yapılmaktadır (Örneğin: Çukurova Elektrik A. Ş., 1986; EİE, 2006; USACE, 1985).
Doğal akarsuyun gelecekteki akım düzeninin geçmiştekine benzer olacağı
varsayımıyla, proje aşamasında ve mevcut yapının işletme çalışmasında baraj
aksında ölçülmüş veya baraj aksına taşınmış gözlenmiş akım serileri yaygın
olarak kullanılmaktadır. Gelecekteki akımların genel istatistiksel
karakteristikleri geçmişte gözlenmiş akımlarınkiler ile aynı veya çok yakın
olsa dahi, gelecekte geçmiştekinden daha kurak ve daha sulak birkaç yıllık
süreçler vuku bulabilir. Dolayısıyla, 20.nci yüzyılın başlarından beri, gelecekteki
akım serileri için, geçmiştekilerin temel istatistiklerini muhafaza ederek,
sentetik akım türetme yöntemleri geliştirilmiştir. Bunların en yaygınları
Box-Jenkins modelleri olarak tabir edilen, AR(p), MA(q), ARMA(p,q),
ARIMA(p,l,q) sembolleriyle tanımlanan stokastik yöntemlerdir (örneğin: Beard ve
ark, 1970; Box ve ark, 2008; Can ve Yardelen, 2005; Karabörk ve Kahya, 1999;
Kottegoda, 1980). Sentetik akım türetmedeki amaç, 5Bin yıl, 10Bin yıl gibi
büyük uzunlukta bir yapay akım serisi hesaplamak, bunu her biri 35’er veya
50’şer yıllık 100 veya 200 adet parçalara bölmek, hidroelektrik üretimi, sulama
suyu, içme-kullanma suyu temini gibi gayelerle 100 veya 200 adet parçanın her
biri ile ayrı ayrı işletme yapmak, elde edilen 100 veya 200 farklı bulgu ile
olasılık-bazlı sonuca ulaşmaktır. Örneğin 50 yıllık bir gözlenmiş akım serisi,
bir adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji bulgusu verirken, 100 adet 50’şer
yıllık sentetik seri parçası ile 100 adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji
değeri elde edilir. Ortalama yıllık hidroelektrik enerjinin bir rastgele
değişken olduğu kabulü ile, bu 100 adet değere uygun bir olasılık dağılımı
uydurularak, örneğin geçilme olasılığı % 90 olan ortalama yıllık hidroelektrik
enerji hesaplanmış olur.
Uzun sentetik akım datası üretme amaçlı paket programlar
mevcuttur. HEC4 (USACE, 1971), SPIGOT (Grygier ve Stedinger, 1990, 2001),
SAMS2007 (Sveinsson ve ark, 2007) programları bilinenler olarak
değerlendirilebilir. Sembolik olarak tasvir edildiğinde, HEC4, bir
çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) aylık akım modelidir. SPIGOT, yıllık akımlara,
isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu AR(1) modeli
uyguladıktan sonra, detayları Grygier ve Stedinger (1990, 2001) tarafından
açıklanan zamansal ayrıştırma veya mekânsal ayrıştırma yöntemleriyle aylık
akımları hesaplamaktadır. SAMS2007 yıllık ve aylık akım serilerini ayrı olarak
farklı birkaç modelle türetmektedir. SAMS2007 yıllık akımlar için
çok-istasyonlu ARMA(p,q) modeli, fakat aylık akımlar için çok-istasyonlu AR(p)
modeli uygulayabilmektedir. SAMS2007 çok-istasyonlu aylık akımlar için yıllık
akımlara uyguladığı çok-istasyonlu ARMA(p,q) modelinin verdiği yıllık
akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları elde etmektedir (Sveinsson ve
ark, 2007). SAMS2007 isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu
modelleri ayrı ayrı uygulamaktadır (Sveinsson ve ark, 2007). HEC4, SPIGOT, ve
SAMS2007’nin hiç birisi aylık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(1,1) modeli
uygulamamaktadır. Bunların en kapsamlısı SAMS2007 gibi görülmektedir; çünkü
SAMS2007 hem p’nin hem de q’nun 10 kadar yüksek seviyelere kadar çıkabildiği
ARMA(p,q) modeli uygulamaktadır. Fakat, SAMS2007 bu modeli sadece
çok-istasyonlu yıllık akımlara uygulayabilmekte, aylık akımlar istenirse,
hesapladığı yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları
hesaplamaktadır. Özeti bu bildiride sunulan bu çalışmada, HEC4, SPIGOT, ve
SAMS2007’ninkilerden farklı bir yöntemle, en fazla 20 adet olabilen bir grup
içinde M adet istasyondaki aylık akım serilerine doğrudan çok-istasyonlu AR0+ARMA(1,1)
modeli uygulanmıştır. Analitik ve nümerik safhaları geliştirildikten sonra, bu
model Fortran dilinde AR0ARMA11 adlı bir bilgisayar programı olarak
kodlanmıştır. Bir gruptaki istasyon adedi en fazla 20, sentetik seri uzunluğu
da en fazla 10bin yıl olmaktadır. Programda M adet her biri 10bin satırlı 12
sütunlu matrisin yanısıra, birçok aynı boyutta matrisler ve birçok uzun tek
boyutlu diziler gerekmekte, bu haliyle program, 20 istasyonlu bir grubun 10Bin
yıllık aylık akım serilerinin hesabı için 4 Giga byte RAM hafızası olan bir
PC’de çalışmaktadır. Program, RAM hafızası 8 veya daha fazla GB olan PC’ler
için gruptaki seri adedini 40’a veya hatta 50’ye çıkarılacak biçimde kolayca
modifiye edilebilir.
MATERYAL VE METOT
Materyal
Bu çalışmanın materyali olarak, Elektrik İşleri Etüt
İdaresi ve Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğünce ölçülmüş olan ülkemizdeki doğal
akarsuların memba kısmında baraj bulunmayan akım rasat istasyonlarının aylık
akım serileri kullanılmıştır. Doğu Karadeniz Bölgesinde, 22 nolu Müteferrik
Doğu Akdeniz Suları ve 23 nolu Çoruh havzalarında 19 adet akım rasat istasyonu
bir grup olarak alınmıştır. Ayrıca, 21 nolu Fırat ve 26 nolu Dicle havzalarında
19 adet, Ege Bölgesinde 3 nolu Susurluk, 4 nolu Müteferrik Ege Suları, 5 nolu Gediz,
6 nolu Küçük Menderes havzalarında 20 adet, ve İç Anadolu Bölgesinde 14 nolu
Yeşilırmak, 15 nolu Kızılırmak, 16 nolu Orta Anadolu Kapalı havzalarında 16
adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Bu akım rasat
istasyonlarında ölçülmüş olan aylık akım dataları 1962 – 2011 arası 50 yıllık
süreç için alınmış, uygun dosyalara kaydedilmiştir. Bu istasyonlardan bir kısmı
1962’den daha sonra açıldığı için bazı seriler daha kısadır. Bazı serilerde de
aralarda kayıt boşlukları vardır.
Su Kaynakları Mühendisliği alanında, HEC1, HEC-RAS gibi
birçok paket programı A.B.D.’de, ülkemizde, ve birçok ülkede kullanılmakta olan
A.B.D. Ordu Mühendisleri Birliği Hidrolojik Mühendislik Merkezi’nin aylık akım
serilerinin, gözlenmiş olanlardaki eksikliklerin tamamlanması ve istenen
uzunlukta sentetik seriler hesaplanması için çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) modeli
uygulayan, HEC4 olarak bilinen bir paket programı da mevcuttur (USACE, 1971). SPIGOT
ve SAMS2007’den farklı olarak HEC4, öncelikle kaydedilmiş doğal akım
serilerinden eksik ayların değerlerini de aynı model ile hesaplamakta ve
gruptaki bütün istasyonların eksik akımlarını tamamlamaktadır. Bu çalışmada,
gözlenmiş akımların eksiklerinin hesaplanması kısmında HEC4 programının
AR(0)+AR(1) modelindeki rastgele bileşen kaldırılmış, o ayın ve bir önceki ayın
açıklayıcı değişkenler olduğu çoklu lineer regresyon kullanılmıştır. Detayları
burada sunulmayan, ölçülmüş birçok akımı seriden çıkarıp HEC4’e hesaplattırarak
yapılan çok sayıda kombinezon sonucu, rastgele bileşensiz çoklu-regresyonun
gözlenmiş serilerdeki eksik akımları daha duyarlı olarak hesapladığı
görülmüştür. 1970’te geliştirilmiş olan HEC4 programı, o zamanki
bilgisayarların hafıza kapasitesinden dolayı, bir grupta en fazla 10 seri
almakta ve en fazla 100 yıl süreli sentetik seri hesaplayabilmektedir (USACE,
1971). Daha uzun sentetik serileri 100’er yıllık parçalar halinde hesaplamakta,
bunları kısımlar halinde yardımcı hafızaya kaydetmektedir. Bu çalışmada, önce eksik
akımların tamamlanmasında yapılan değişikliğin yanısıra, HEC4, bir grupta 20
seri alacak biçimde ve parçalara ayırmadan bir seferinde 10Bin yıla kadar
süreli sentetik seri hesaplayacak biçimde modifiye edilmiştir. Dolayısıyla,
yukarıda özetlenen gruplar öncelikle modifiye HEC4 ile çalıştırılmış ve
gruplardaki istasyonların gözlenmiş aylık akım serileri 1962 – 2011 süreci için
tamamlanmıştır. Böylece tamamlanan doğal akım serileri, bu çalışmada
geliştirilmiş olan AR0ARMA11 programının giriş datasını teşkil etmiştir. Bu
bildiride, yukarıda bahsedilenlerden Fırat-Dicle grubu içindeki, Tohma Suyu
üzerinde 2145 nolu Hisarcık akım rasat istasyonu örnek olarak verilecektir.
2145-Hisarcık istasyonunun drenaj alanı 5780.8 km2 olup, 1963 – 2011
sürecinde eksiksiz gözlenmiş datası bulunmaktadır.
Metot
En fazla 20 istasyonun bir grupta bulunabileceği, en
fazla 10Bin yıla kadar uzunlukta aylık akımların AR(0)+ARMA(1,1) modeli ile
sentetik olarak hesabı için geliştirilmiş olan çok-istasyonlu model aşağıda
özetlenen adımları içermektedir.
1) Her istasyonun n´12 adet elemanı bulunan gözlenmiş
aylık akım serisine Qi = A´ti + B ifadesi ile tanımlı
lineer trend analizi yapılır. Bu ifadedeki ti, Qi aylık
akımın n´12 aylık süreçteki tam sayı konum değeridir. Burada,
n´12 adet aylık akım değerleri kullanılarak A ve B
katsayıları en-küçük-kareler yaklaşımlı regresyonla hesaplanır. A katsayısının t değeri ve A’nın % 99 anlamlılıkta çift
taraflı güven aralığı hesaplanarak gözlenmiş aylık akımlar serisinin lineer
trendi olup olmadığına karar verilir. Örneğin, bu çalışmada alınanlardan, 19
istasyon içeren Fırat-Dicle grubunda 5 istasyonda azalan trend görülmüştür. Karadeniz
grubu hariç, diğer iki grupta da bazı istasyonlarda azalan trend bulunmuştur. Öncelikle
trend bulunan bir istasyonun n´12 adet aylık akım değerlerinin
hepsi, artan trend varsa aynı eğimle azaltılmakta, azalan trend varsa aynı
eğimle arttırılmakta, ve böylece ortalaması zaman göre sabit bir gözlenmiş akım
serisi elde edilmektedir.
2) Her istasyonun kesiksiz n yıllık aylık akımlar serisi
bulunan, M adet istasyon içeren gruptaki her istasyonun her ayının akım
serisinin ortalaması, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı hesaplanır.
3) Her istasyonun n´12 adet standardize değişken
serisi aşağıdaki eşitlik ile hesaplanır.
zi,k = (Ql,j,k – ortj,k
) / ssj,k , l = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., 12, k = 1, 2, …,
M, i = 1, 2, ..., n´12 (1)
Burada, Ql,j,k : k.nıncı istasyon akım serisinin,
l.ninci yılının, j.ninci ayındaki akım değeri (hm3/ay), ortj,k
: k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin ortalaması (hm3/ay),
ssj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin standart
sapması (hm3/ay), zi,k : k.nıncı serinin standardize
değişkenidir (boyutsuz, toplam n´12 adet elemanlı tek seri).
4) Her istasyonun n´12 adet standart-normal değişken
serisi (ui,k), parametreleri, momentler, olasılık-ağırlıklı
momentler (OAM), maksimum-olabilirlik (MO), sıfır-çarpıklık yöntemlerinden en
uygun olanı ile hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım (LN3) dönüştürümü
ile hesaplanır. Oldukça kapsamlı ara adımlar ve hesaplar gerektiren bu kısmın
özeti bildiriyi uzatmamak amacıyla verilmeyecektir. Arzu eden herkese sunulabilir.
Parametreler hesaplandıktan sonra LN3 dağılımı ile standart-normalizasyon
dönüştürümü aşağıdaki eşitliklerle yapılır.
ui,k = [ln(zi,k – ck) –
ln(bk)] / ak , zi,k
serisinin çarpıklık katsayısı > +0.05 ise (2.1)
ui,k = [ln(ck – zi,k) –
ln(bk)] / ak , zi,k
serisinin çarpıklık katsayısı < –0.05 ise (2.2)
Bir istasyonun zi,k serisinin çarpıklık
katsayısı –0.05, +0.05 aralığında kalırsa zi,k serisinin
standart-normal dağılımlı olduğu kabul edilerek doğrudan ui,k = zi,k
alınır. Bu çalışmada data olarak kullanılan ülkemizden 74 istasyonun hiçbirinde
bu durum oluşmamıştır. Şekil 1’de 2145-Hisarcık istasyonunda standardize
değişkenin, Şekil 2’de de standart-normal değişkenin QQ grafikleri
verilmektedir. Şekil 2’deki noktalar Şekil 1’dekine göre 45 derecelik doğruya
daha yakın bir konumda olduğundan dolayı LN3-MO dağılımı ile dönüştürülmüş
standart-normal serinin standardize seriye nazaran standart-normal dağılıma
daha iyi uyduğu söylenebilir.
Şekil 1.
2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standardize edilmiş
elemanlarının QQ grafiği.
Şekil 2.
2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standart-normalize
edilmiş elemanlarının QQ grafiği.
5) M adet istasyondan 1.inci istasyonun sentetik standart-normal
değerleri AR(0)+ARMA(1,1) modelinde aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.
M M
ui,1 = ∑ βk∙ui,k + ∑ ϕk∙ui–1,k
+ ηi – θ∙ηi–1 , i = 1, 2, . . ., n´12 (3)
k=2 k=1
Burada, βk : ui,1’i diğer M–1 adet
istasyonun o ayki u’larına iliştiren AR(0) parametreleri, ϕk∙: ui,1’i
kendisi dahil bütün M adet istasyonun bir ay önceki u’larına iliştiren AR(1)
parametreleri, ηi : ortalaması sıfır, varyansı (1–R2)’ye
eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci aydaki değeri, θ : ui,1’i
rastgele bileşenin bir ay önceki değerine iliştiren MA(1) parametresidir. (1–R2)’deki
R2, n´12 adet gözlenmiş serinin ui,1’leri
ile (3) eşitliğinin hesapladığı ui,1’ler arasındaki ilişkinin
determinasyon katsayısıdır (Box ve ark, 2008). Görüldüğü gibi, bir grupta M
adet istasyon var ise, AR(0)+ARMA(1,1) modelinin toplam 2´M adet parametresi bulunmaktadır. (1–R2)
aşağıdaki gibi tanımlıdır (Örneğin: Montgomery ve ark 2001).
n´12
n´12
1–R2 = ∑ (ui,1-gözlenen – ui,1-hesaplanan)2
/ ∑ (ui,1-gözlenen – u1-ortalama)2 (4)
i=1 i=1
Burada, u1-ortalama : n´12 adet ui,1-gözlenen’lerin aritmetik
ortalaması, ui,1-hesaplanan’lar da (3) eşitliği ile hesaplanan ui,1’lerdir.
(4) eşitliği genel olup, (3) eşitliğinden farklı bir eşitlik için de geçerlidir
ve o eşitliğin (1–R2)’sini verir.
(3) eşitliğindeki rastgele bileşen bu çalışmada aşağıdaki
gibi hesaplanmaktadır.
Pnexi = ursi (5)
sndi = Φ(Pnexi) (6)
ηi = ση ∙ sndi (7)
Burada, ursi : alt sınırı 0, üst sınırı 1 olan
üniform dağılımlı (kenar uzunluğu 1 olan kare) bir rastgele sayı, Pnexi
: ursi’ye eşit alınan, ηi’nin küçük-kalma olasılığı, Φ(Pnexi):
standart-normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu inversinin Pnexi
argümanı için verdiği nümerik değer, ση : ηi’nin standart
sapmasıdır ve ση = (1–R2)1/2’dir. Bu çalışmada
ursi, Numerical Recipes
(Press ve ark, 1992) kitabında verilen RAN1 adlı alt-program ile, Φ(Pnexi)
te Odeh ve Evans’ın (1974) 8 anlamlı hane duyarlılığındaki nümerik yöntemiyle
hesaplanmaktadır.
6) (3) eşitliğindeki M–1 adet βk, M adet ϕk,
ve bir adet θ parametresi, M adet her biri n×12 elemanlı aylık akım serilerinin
dönüştürülmüş ui,k değerleri ve (5), (6), (7) eşitliklerinden elde
edilmiş n×12 elemanlı ηi serisi kullanılarak, (3) eşitliğiyle
hesaplanan ui,1’ler ile gözlenmiş ui,1’ler arasındaki
farkların karelerinin toplamını minimum yapacak biçimde, diğer bir deyişle
en-küçük-kareler yöntemiyle hesaplanmaktadır. Anılan farkların karelerinin
toplamı aşağıdaki gibidir.
n×12
FKT1 = ∑ (ui,1-hesaplanan – ui,1-gözlenen)2 (8)
i=1
Burada, ui,1-hesaplanan için (3) eşitliğinin
sağ tarafı ve ui,1-gözlenen için de kısa olması amacıyla ugi,1
sembolü kullanıldığında FKT1 aşağıdaki gibi yazılabilir.
n×12
M M
FKT1 =
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k + ∑ ϕk∙ugi–1,k
+ ηi – θ∙ηi–1 ] – ugi,1}2 (9)
i=1 k=2
k=1
FKT1’i minimum yapan parametreleri bulabilmek
için FKT1’in her bir parametreye göre kısmi türevini alıp bunları
sıfıra eşitleyerek oluşturulan denklem takımını parametreler için çözmek
gerekir. FKT1’in β2’den βM’ye kadar kısmi
türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.
n×12 M M
n×12
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi,m
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi,m – θ∙ηi–1∙ugi,m
] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi,m , m = 2, 3, …, M (10)
i=1 k=2 k=1 i=1
FKT1’in ϕ1’den ϕM’ye
kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi
olur.
n×12 M M
n×12
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi–1,m
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi–1,m – θ∙ηi–1∙ugi–1,m]
= ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,m , m = 1, 2, …, M (11)
i=1 k=2 k=1
i=1
FKT1’in θ’ya göre kısmi türevinin sıfıra
eşitlenmesiyle oluşan eşitlik aşağıdaki gibi olur.
n×12 M
M n×12
∑ {[ ∑ βk·ugi,k∙ηi–1
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ηi–1 – θ∙(ηi–1)2]
= ∑ (ugi,1 – ηi)∙ηi–1 (12)
i=1 k=2
k=1
i=1
(10) eşitliklerinden M–1 adet, (11) eşitliklerinden M
adet, ve (12) eşitliğinden de 1 adet lineer denklem elde edilir. Böylece, 2×M
adet bilinmeyene karşılık 2×M adet lineer denklem elde edilmiş olur. (10), (11),
ve (12) eşitliklerinin oluşturduğu lineer denklemler takımı AX = B sembolleri
ile öz bir biçimde yazılırsa, X bilinmeyenler vektörünün, A katsayılar
matrisinin, ve B yük vektörünün elemanları aşağıdaki gibidir.
x1 ≡ β2, x2 ≡ β3,
. . ., xM–1 ≡ βM, xM ≡ ϕ1, xM+1
≡ ϕ2, . . ., x2M–1 ≡ ϕM, x2M ≡ θ
a1,1 = S ugi,22 , a1,2 = S ugi,3∙ugi,2 , . . ., a1,M–1 = S ugi,M∙ugi,2 , a1,M = S ugi–1,1∙ugi,2 ,
a1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,2 , . . ., a1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,2 , a1,2M = S ηi–1∙ugi,2
a2,1 = S ugi,2∙ugi,3 , a2,2 = S ugi,32
, . . ., a2,M–1 = S ugi,M∙ugi,3 , a2,M = S ugi–1,1∙ugi,3 ,
a2,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,3 , . . ., a2,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,3 , a2,2M = S ηi–1∙ugi,3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aM–1,1 = S ugi,2∙ugi,M , aM–1,2 = S ugi,3∙ugi,M , . . ., aM–1,M–1 = S ugi,M2 , aM–1,M = S ugi–1,1∙ugi,M ,
aM–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,M , . . ., aM–1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi, M , aM–1,2M = S ηi–1∙ugi,M
aM,1 = S ugi,2∙ugi–1,1 , aM,2 = S ugi,3∙ugi–1,1 , . . ., aM,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,1 , aM,M = S ugi–1,12 ,
aM,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,1 , . . ., aM,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,1 , aM,2M = S ηi–1∙ugi–1,1
aM+1,1 = S ugi,2∙ugi–1,2
, aM+1,2 = S ugi,3∙ugi–1,2 , . . ., aM+1,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,2 , aM+1,M
= S ugi– 1,1∙ugi–1,2 , aM+1,M+1
= S ugi–1,22 , . . ., aM+1,2M–1
= S ugi–1,M∙ugi–1,2 , aM+1,2M
= S ηi–1∙ugi–1,2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a2M–1,1 = S ugi,2∙ugi–1,M , a2M–1,2 = S ugi,3∙ugi–1,M , . . ., a2M–1, M–1 = S ugi,M∙ugi–1,M ,
a2M–1,M = S ugi–1,1∙ugi–1,M , a2M–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,M , . . ., a2M–1,2M–1 = S ugi–1,M2 , a2M–1,2M = S ηi–1∙ugi–1,M
a2M,1 = S ugi,2∙ηi–1 , a2M,2 = S ugi,3∙ηi–1
, . . ., a2M,M–1 = S ugi,M∙ηi–1 , a2M,M = S ugi–1,1∙ηi–1 ,
a2M,M+1 = S ugi–1,2∙ηi–1 , . . ., a2M,2M–1 = S ugi–1,M∙ηi–1 , a2M,2M = S ηi–12
b1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,2 , b2 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,3 , . . ., bM–1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,M
, bM = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,1 ,
bM+1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,2 , . . ., b2M–1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,M
, b2M = S (ugi,1 – ηi)∙ηi–1
Yukarıda özetlendiği biçimde oluşan AX = B takımının en
fazla 40 adet denklemi oluşmaktadır. Genel programda diziler ve matrisler 7
anlamlı haneli olarak işlenirken, AX = B sisteminin bilinmeyen vektörü 16
anlamlı haneli olarak Gauss-Jordan yöntemiyle hesaplanmaktadır.
7) n×12 adet rastgele bileşenin değerleri (4) ve (7)
eşitliklerinden dolayı henüz hesaplanmamış olan parametrelere bağlı olduğu için
parametrelerin hesabı iteratif bir yöntem gerektirmektedir. 0 ile +1 arasındaki
(1–R2)’nin olması gereken değerini hesaplamak için öncelikle (3)
eşitliğindeki son iki terimin kaldırıldığı doğrudan, 2×M–1 adet açıklayıcı
(bağımsız) değişkeni olan çoklu lineer regresyonun (1–R2)’si hesaplanmaktadır.
Gerçek (1–R2) için bunu başlangıç tahmini alan Kiriş yöntemi ile
(1–R2) değişmez oluncaya kadar iterasyonlar devam etmekte son
iterasyondaki 2´M adet parametre çok-serili
AR(0)+ARMA(1,1) modelinin parametreleri olmaktadır. Her iterasyonda yukarıda
özetlenen AX = B sistemi çözülmektedir.
8) 1 nolu istasyonun i.ninci ayının standart-normal
değerini gruptaki diğer M–1 adet istasyonun aynı aydaki standart-normal değerlerine
(ui,k’lara) iliştirdiği için (3) eşitliğindeki ilk terimden dolayı
parametrelerin belirlenmesini takiben N yıllık sentetik ui,1 serisi direkt
olarak hesaplanamaz. Çünkü diğer istasyonların o ayki standart-normal değerleri
henüz hesaplanmamıştır. Kapsamlı bir iteratif yöntem gerekmektedir. M adet
serinin her birinin N´12 adet ui,k’ları
doğru olarak hesaplandığında, bu bilinen ui,k’lar ve ui–1,k’lar
(3) eşitliğine konduğu vakit hesaplanan ui,1’ler artık belirlenmiş
olan ui,1’lere kabul edilebilir bir duyarlılıkta eşit olmak
zorundadır. Bu kapsamlı iteratif döngüler içeren yöntem bu kısımda
özetlenmektedir. Öncelikle, (3) eşitliğinin daha basit bir hali olan ilk
teriminin çıkarıldığı model ele alınır. Bu, çok-serili ARMA(1,1) modelidir. Bu
sade modelde ui,1 bir önceki ayların standart-normal değerlerine (ui–1,k’lara)
iliştirildiği için, sentetik ui,1’lerin hesabı doğrudan yapılabilir.
Fakat, bu çalışmada uygulanan AR0+ARMA(1,1) modelinden daha sade bir model olan
ARMA(1,1) modeli tabi ki ilkinden daha farklı ui,1’ler hesaplayacaktır.
Bu çalışmada, sade modelin verdiği ui,1’ler asıl modelin
hesaplayacağı ui,1’ler için başlangıç tahminleri olarak
kullanılmaktadır. Çok-serili ARMA(1,1) modelinin M adet parametresi
bulunmaktadır. Yukarıda, buraya kadar özetlenen çok-serili AR0+ARMA(1,1)
modelinin parametrelerinin hesabı için uygulanan en-küçük-kareler yöntemi bu çok-serili
ARMA(1,1) modeli için de uygulanmakta, sonra N´12 adet ui,1’ler
hesaplanmaktadır. Son iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin
ortalamasının bir önceki iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin
ortalamasından olan mutlak farkın 0.0001’den (10–4) küçük olduğunda asıl modelin yeterli
hassasiyette ui,1’leri hesapladığı kabul edilmiştir. Bu kriter, 20
adet istasyonlu bir grupta 20 adet serinin her birinin toplam 120Bin adet ui,k’ları
olan 10Bin yıllık sentetik serilerde 50 ile 100 arası iterasyon gerektirmektedir.
Yakınsama kriteri10–4 yerine 10–6 alındığında iterasyon
sayısı 10 ~ 20 civarında artmaktadır. Hesaplanan ui,k’ların büyük
çoğunluğu –5, +5 aralığında küçük boyutlu reel sayılar olduğu için
ortalamalardaki farkın 0.0001 olması yeterlidir. Son iki iterasyonda
ortalamalar arasındaki fark yeterli hassasiyette değilse, N´12 adet yeni iterasyon değerleri aşağıdaki eşitlik ile
hesaplanmaktadır.
Yeni ui,1 = AK1´(bir önceki iterasyondaki ui,1) + AK2´(son iterasyondaki ui,1) (13)
Burada, AK1 : bir önceki iterasyonda
hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısı, AK2 : son
iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısıdır, ve bunlar,
son iki iterasyondaki N´12 adet ui,1’ler
serilerinin standart sapmalarının değerlerine göre aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır.
AK1 = SS1 / (SS1 + SS2) , AK2 = SS2
/ (SS1 + SS2) (14.1),
(14.2)
Bu iterasyonlarda 1.inci istasyonun dışındaki diğer M–1
adet istasyonun ui,1’leri en son değerlerinde sabit kalır. İlk
iterasyonda M–1 adet istasyonun ui,k’ları çok-serili ARMA(1,1)
modelince hesaplanan değerler olarak kalır.
9) Yukarıdaki paragraflarda özetlendiği biçimde M adet
seriden 1.inci serinin N´12 adet ui,1’leri
yeterli hassasiyette hesaplandıktan sonra, serilerin yerleri bir sıra geriye
gidecek biçimde değiştirilmektedir. Baştaki dizilişte 2.nci olan 1.inciye,
3.üncü olan 2.nciye, …, M.inci olan M–1.inciye kaydırılırken, en baştaki 1.inci
de M.inci olarak değiştirilir. Bu değişim yapıldıktan sonra, serilerin ui,k’larının
en son değerleri ile yukarıdaki 5.inci şıkka gidilir ve büyük döngü
iterasyonlar, M adet serinin tamamının son iki iterasyonların N´12 adet ui,1’leri ortalamaları mutlak farkı
0.0001’den (10–4) küçük kalana kadar devam eder. N = 10Bin iken 20
istasyonlu bir grupta 80 civarında büyük iterasyon döngüsü sonunda M adet
serinin N´12 adet ui,1’leri değişmez olmaktadır.
10) (3) eşitliği ile M adet istasyonun N´12 adet ui,k’ları hesaplandıktan sonra, LN3
dağılımı ile ui,k’lar (2) eşitliklerinin inversleri olan aşağıdaki
eşitlikler kullanılarak zi,k’lara dönüştürülür.
zi,k = ck + exp[ui,k × ak
+ ln(bk)], baştan z’lerin
çarpıklık katsayısı pozitif ise (15.1)
zi,k = ck – exp[ui,k × ak
+ ln(bk)], baştan z’lerin
çarpıklık katsayısı negatif ise (15.2)
Sonra, zi,k’lar, (1) eşitliğinin inversi olan
aşağıdaki eşitlik kullanılarak aylık akımlara dönüştürülür.
Ql,j,k = zi,k × ssj,k +
ortj,k , k = 1, 2, …, M, j =
1, 2, …, 12, l = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, N´12 (16)
11) Başta gözlenmiş akım serisinde trend tespit edilen
bir istasyonun N-yıllık sentetik akım serisinin her bir n-yıllık parçasının n´12 adet akım değerleri, Qi = A´ti + B ifadesi ile trende uygun olarak
değiştirilmektedir. Trend ifadesi, uzun sentetik serinin N´12 adet akımlarına baştan sona uygulanmamaktadır.
BULGULAR, SONUÇ, VE
TARTIŞMA
Çalışmanın bir yan ürünü olarak, ülkemizin değişik
bölgelerinden toplam 74 akım rasat istasyonunda, 1962 – 2011 sürecinde
gözlenmiş aylık akım serilerinin, % 99 anlamlılık seviyesinde lineer regresyon
yöntemiyle yapılmış trend analizi sonuçları vardır. Doğu Karadeniz grubundaki
19 istasyondan hiçbirinin 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım
serilerinde trend bulunmamıştır. Aynı süreç için, Ege Bölgesindeki grupta, dört
havzadan 20 akım rasat istasyonunun 19’unda, Yeşilırmak, Kızılırmak, ve Orta
Anadolu havzalarındaki 16 istasyonluk grupta 8 istasyonda, Fırat-Dicle
grubundaki 19 istasyonun 5 adedinde azalan trend görülmüştür. Toplam 74 adet
gözlenmiş aylık akım serilerinden hiç birinde artan trend bulunmamıştır.
Bu çalışmada, kendine özgü bir yaklaşımla, akım
özelliklerinin benzer olduğu beklenen bir bölgedeki en fazla 20 akım rasat
istasyonunda n yıllık gözlenmiş aylık akım serilerini alıp, her istasyon için N
yıllık sentetik aylık akım serileri üreten bir model geliştirilmiş ve Fortran
dilinde bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir tür Box-Jenkins modeli
olan bu çalışmanın modeli, genelde kullanılan sembollerle, bir ‘çok-serili
AR(0)+ARMA(1,1)’ modelidir. Bu modelin, GİRİŞ kısmında bahsedilen HEC4,
SAMS2007, ve SPIGOT modellerinden diğer bir farkı da, gruptaki her bir
istasyonda aylık akım serilerine % 99 anlamlılık seviyesinde lineer trend
analizi yapmasıdır. Trend bulunan bir serinin n´12 adet bütün gözlenmiş akımları,
trend doğrusunun eğimi ile aynı oranda, azalan trend olan seri için
arttırılmakta artan trend için azaltılmakta, böylece en başta, modelin diğer
aşamalarına geçmeden, ortalama değeri zamana göre sabit bir seriye
dönüştürülmektedir. En sonunda, trend olan bir istasyonun sentetik aylık
akımları (16) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, N yıllık sentetik serinin
n-yıllık parçalarının her birine ayrı ayrı, baştan elde edilen Qi =
A´ti + B ifadesi ile trend uygulaması
yapılmaktadır.
Programın çıktı dosyalarından, istatistiksel özellikleri
özetleyen olanının sonunda, 12 ayın her birinin n-yıllık gözlenmiş akımlarının
ortalaması, varyasyon katsayısı, ve çarpıklık katsayısı ve aynı rakamların
altında N/n adet her biri n-yıllık sentetik aylık akım serilerinin
ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama
değerleri verilmektedir. Çizelge (1)’de Fırat-Dicle grubunda bu çalışmada örnek
olarak seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun bu istatistikleri verilmektedir. Diğer
18 istasyonun ve diğer gruplardaki bütün istasyonların anılan istatistikleri
benzer yapıdadır. Bu çıktıların incelenmesinden 200 adet 50’şer yıllık ortalama
ve varyasyon katsayıları ortalama değerlerinin 50’şer yıllık gözlenmiş akım
serilerinkilere çok yakın olduğu görülmüştür. Çarpıklık katsayılarında uyum
diğer ikisi kadar iyi gözükmemektedir.
Çizelge 1. Fırat-Dicle grubundaki istasyonlardan
2145-Hisarcık istasyonu 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisinin ortalama,
varyasyon katsayısı, çarpıklık katsayısı değerleri, ve bu çalışmada
geliştirilen modelin hesapladığı her biri 50-yıllık 200 adet sentetik serinin
ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama
değerleri.
ORTALAMA DEĞER
(hm3/ay) VARYASYON
KATSAYISI ÇARPIKLIK KATSAYISI
AYLAR Doğal seri 200 sentetik Doğal seri 200 sentetik Doğal seri 200 sentetik
değeri seri ortalaması değeri seri ortalaması değeri seri ortalaması
Ekim
46.4 46.5 0.24 0.24 1.00
0.50
Kasım
47.3 47.3 0.23 0.22 1.10
0.52
Aralık
48.2 48.2 0.24 0.23 1.18
0.51
Ocak
47.2 47.1 0.23 0.22 1.04
0.47
Şubat
45.7 45.8 0.24 0.23 0.81
0.48
Mart
82.0 82.1 0.38 0.37 2.34
0.49
Nisan
107.2 107.2 0.49 0.48 1.17
0.53
Mayıs
87.1 87.4 0.47 0.46 1.20
0.52
Haziran
59.2 59.1 0.40 0.40 0.73 0.50
Temmuz 46.4 46.7 0.39 0.38 1.09 0.51
Ağustos 41.3 41.4 0.38 0.37 0.97 0.48
Eylül
39.9 39.8 0.32 0.31 0.90
0.57
Bu modelin, Fırat ve Dicle havzalarında, içinde 19 adet,
memba kısmında baraj olmayan akım rasat istasyonunun bulunduğu gruba
uygulanması sonucu, 50’şer yıllık gözlenmiş aylık akımlar giriş datası ile
10Bin’er yıllık sentetik aylık akımlar hesaplanmıştır. Bu 19 istasyonluk grupta
azalan trend gösteren 5 adet istasyondan rastgele seçilen 2145-Hisarcık
istasyonunun 10Bin yıllık sentetik serisinden elde edilen 200 adet, çakışmayan,
her biri 50 yıllık sentetik aylık akım serilerinden baştakinin (1.incisinin),
ortadakinin (100.üncüsünün), ve sonuncusunun (200.üncüsünün) 600’ar aylık
akımlarının görünümleri 3, 4, ve 5 nolu şekillerde 50 yıllık doğal akım serisi
ile birlikte sunulmaktadır. Bu şekillerin göreceli incelenmesinden, burada
özetlenen bu stokastik modelin makul sentetik akımlar hesapladığı söylenebilir.
Şekil 3. 2145-Hisarcık
istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 1.inci 50-yıllık kısmı
ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.
Şekil 4. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık
sentetik akımlardan 100.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar
serisi.
Şekil 5. 2145-Hisarcık
istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 200.üncü 50-yıllık
kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serileri.
KAYNAKLAR
Beard L R, Fredrich A J,
Hawkins E F (1970) Estimating Monthly Streamflows
within a Region,TP 18. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of
Engineers, Davis, CA.
Box G E P, Jenkins G M,
Reinsel G C (2008) Time Series Analysis
Forecasting and Control, Fourth Edition, John Wiley & Sons Inc.,
Hoboken, New Jersey, USA.
Can I and Yerdelen C (2005)
Auto-regressive moving-average (ARMA) modeling of monthly flows of M Kemal Pasa
River, Susurluk Basin. Journal of Faculty
of Engineering and Architecture of Selcuk University, 20(3), 25–34.
Çukurova Elektrik
A. Ş. (1986) Sır Dam
and Hydroelectric Project, Water Potential and Power Studies (Revision). Coyne et Bellier, Bureau d’Ingenieurs
Conseils, Paris, France, Aknil Engineers Consultants, Ankara, Turkey.
EİE (2006) Ağaçhisar Barajı ve HES için Fizibilite
Raporu, Susurluk – Orhaneli Çayı Havzasındaki Enerji Projeleri. Elektrik
İşleri Genel Müdürlüğü, Ankara.
Grygier J C and
Stedinger J R (1990) SPIGOT, A Synthetic
Streamflow Generation Software Package, Technical Description, Version 2.6.
School of Civil and Environmental
Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.
Grygier J C and Stedinger J R
(2001) SPIGOT, A Synthetic Streamflow
Generation Software Package, User’s Manual, Version 2.7. School of Civil
and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501,
USA.
Karabörk M Ç and Kahya E
(1999) Multivariate stochastic modeling of monthly streamflow of rivers in
Sakarya Basin (in Turkish). Turkish
Journal of Engineering and Environmental Sciences, 23(1999), 133–147.
Kottegoda (1980) Stochastic
Water Resources Technology, The MacMillan Press Ltd., Hong Kong.
Montgomery D, Peck E, Vining
G (2001) Introduction to Linear
Regression Analysis. 3rd edition, John Wiley, New York.
Odeh R E and Evans J O (1974) Algorithm AS 70: percentage
points of the normal distribution. Applied
Statistics, 23, 96-97.
Press W H, Teukolsky S A,
Vetterling W T, Flannery B P (1992) Numerical
Recipes in Fortran 77, The Art of Scientific Computing. Second Edition,
Cambridge University Press, UK.
Sveinsson O G B, Salas J D,
Lane W L, Frevert D K (2007) Stochastic
Analysis, Modeling, and Simulation (SAMS) Version 2007, User’s Manual.
Computing Hydrology Laboratory, Department of Civil and Environmental
Engineering, Colorado State University, Fort Collins CO, USA.
USACE (1971) HEC4 Monthly Streamflow Simulation User’s
Manual. US Army Corps of Engineers, Institute for Water Resources,
Hydrologic Engineering Center, 609 Second Street, Davis, CA 95616, USA.
USACE (1985) Engineer Manual EM-1110-2-1701 Hydropower.
US Army Corps of Engineers, Washington, D.C., 20314-1000.
SENTETİK
AYLIK AKARSU AKIMLARI İÇİN ÇOK SERİLİ AR(0)+ARMA(1,1) MODELİ
Tefaruk HAKTANIR1 M. Bircan KARA2 Neşe AÇANAL3
ÖZET
20 adede kadar akım rasat istasyonunda gözlenmiş aylık akım
serilerini bir grup içinde giriş datası olarak alıp, her bir istasyonda 10Bin
yıla kadar süreç için sentetik aylık akım serilerini hesaplayan,
AR(0)+ARMA(1,1) sembolü ile temsil edilen bir çok-serili stokastik model
geliştirilmiştir. Öncelikle, gruptaki M adet istasyonun modifiye-HEC4 programınca
eksikleri tamamlanmış n-yıllık gözlenmiş aylık akım serileri giriş datası
olarak okunmaktadır. Model, her serinin aylık akımlarını o ayın ortalamasından
çıkarıp standart sapmasına bölerek mevsimlik periyotları ayıklamakta, çarpıklık
katsayısı mutlak değeri 0.05’den büyük olan standardize serileri, parametreleri
uygun bir yöntemle hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım ile standart-normal
dağılımlı serilere dönüştürmektedir. M adet, n´12 elemanlı
standart-normal değişken serilerinden k.nıncı serinin i.ninci elemanı (ui,k),
diğer M–1 adet serinin i.ninci elemanlarına (AR(0)), M adet serinin i–1.inci
elemanlarına (AR(1)), ve ortalaması 0, varyansı 1 eksi modelin determinasyon
katsayısına eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci ve i–1.inci
elemanlarına (MA(1)) lineer olarak iliştirilmektedir. Toplam 2´M
adet parametre, M adet n´12 elemanlı ui,k serilerini kullanan,
en-küçük-kareler yaklaşımıyla oluşan kapsamlı bir iteratif yöntemle
hesaplanmaktadır. Sentetik ui,k’ların hesabı da ayrı bir kapsamlı
iteratif yöntem gerektirmektedir. Daha sade çok-serili ARMA(1,1) modeli ile
hesaplanan ui,k’lar AR(0)+ARMA(1,1) modelinin başlangıç tahminleri
olarak alınmaktadır. Son iki iterasyonun N´12 adet ui,k
değerlerinin aritmetik ortalamaları yeterli anlamlılıkta değişmeyinceye kadar
iterasyonlar devam etmektedir. Baştan yapılan standardizasyon ve standart-normalizasyon
dönüşümlerinin inversleri uygulanarak N´12 adet sentetik ui,k
değerleri sentetik akım değerlerine dönüştürülmektedir. Model, Türkiye’nin dört
farklı bölgesinde, 50-yıllık gözlenmiş akım serileri bulunan, 16 – 20 arası
adette istasyonlu gruplara uygulanmış, 10Biner yıl süreçli aylık sentetik akım
serileri hesaplanmış, sentetik serilerin 200 adet 50-şer yıllık parçalarının ortalama
değer ve standart sapmalarının ortalamaları gözlenmişlerinkilerle
karşılaştırılmıştır. Ayrıca, baştaki, ortadaki, ve sondaki 50’şer yıllık sentetik
seriler, gözlenmiş serilerle birlikte aynı şekil içinde ayrı ayrı çizdirilmiş,
görünümleri gözle incelenmiştir. Bu karşılaştırmalar sonucu, bu çalışmada
geliştirilmiş olan AR(0)+ARMA(1,1) modelinin makul sentetik aylık akımlar serileri
hesapladığı gözlenmiştir.
Anahtar
Kelimeler: Aylık akarsu akımları için stokastik modeller.
ABSTRACT
A multi-series stochastic
model symbolized by AR(0)+ARMA(1,1) is developed which, by taking the observed
monthly streamflows series of as many as 20 gauging stations in one group as
the input data, computes synthetic monthly streamflows up to 10thousand years
at each station. Initially, the set of complete n-year-long series of monthly
flows observed at M number of gauging stations reconstituted by the
modified-HEC4 package program is taken as the input data. The model extracts
the seasonal periodicities by subtracting its sample mean from each monthly
flow and then dividing by its standard deviation. Next, each series of n´12 elements standardized as such is further
standard-normalized if the absolute value of its skewness coefficient turns out
to be greater than 0.05 by a 3-parameter log-normal distribution whose
parameters are computed by a suitable method. The i’th element of the k’th
series of each one of such determined M series (ui,k) is linearly related to the i’th
elements of the other M–1 series (AR(0)), to the (i–1)’st elements of M series
(AR(1)), and to the i’th and (i–1)’st elements of a normally-distributed random
component whose mean is zero and standard deviation equals 1 minus the
determination coefficient of the model (MA(1)). Computation of 2´M number of parameters is done by the
least-squares approach, which necessitates a comprehensive iterative scheme. Computation
of the ui,k’s
of the synthetic series also necessitates another comprehensive iterative
procedure. N´12 synthetic ui,k’s of each series computed by the
simpler multi-series ARMA(1,1) model are taken as the initial estimates of the ui,k’s by the AR(0)+ARMA(1,1) model. The
iterations continue until the overall averages the ui,k’s of the last two iterations come
close to each other at a sufficient significance level. The inverse expressions
of first the standardizations and next the standard-normalizations are applied
to the final N´12 element ui,k series and finally N-year-long
synthetic series of monthly flows are computed for each one of M stations in
the group by those conversions. The model is applied to four groups from various
regions of Turkey comprising between 16 and 20 stations in each group, and synthetic
series of monthly flows for a period of 10thousand years are computed at each
station, and the averages of sample means and of sample standard deviations of
200 50-year-long segments of the synthetic series are compared with those of
the observed series of monthly flows. The first, the middle, and the last
50-year long portions of the 10thousand-year-long synthetic series are drawn
together with the observed series in the same figure to scale and inspected
visually. As a result of these comparisons, the developed AR(0)+ARMA(1,1) model
is observed to compute reasonable synthetic monthly flows series.
Keywords: Stochastic models for monthly
streamflows.
GİRİŞ
Barajların işletme hesapları çoğu kez aylık akımlar ile
yapılmaktadır (Örneğin: Çukurova Elektrik A. Ş., 1986; EİE, 2006; USACE, 1985).
Doğal akarsuyun gelecekteki akım düzeninin geçmiştekine benzer olacağı
varsayımıyla, proje aşamasında ve mevcut yapının işletme çalışmasında baraj
aksında ölçülmüş veya baraj aksına taşınmış gözlenmiş akım serileri yaygın
olarak kullanılmaktadır. Gelecekteki akımların genel istatistiksel
karakteristikleri geçmişte gözlenmiş akımlarınkiler ile aynı veya çok yakın
olsa dahi, gelecekte geçmiştekinden daha kurak ve daha sulak birkaç yıllık
süreçler vuku bulabilir. Dolayısıyla, 20.nci yüzyılın başlarından beri, gelecekteki
akım serileri için, geçmiştekilerin temel istatistiklerini muhafaza ederek,
sentetik akım türetme yöntemleri geliştirilmiştir. Bunların en yaygınları
Box-Jenkins modelleri olarak tabir edilen, AR(p), MA(q), ARMA(p,q),
ARIMA(p,l,q) sembolleriyle tanımlanan stokastik yöntemlerdir (örneğin: Beard ve
ark, 1970; Box ve ark, 2008; Can ve Yardelen, 2005; Karabörk ve Kahya, 1999;
Kottegoda, 1980). Sentetik akım türetmedeki amaç, 5Bin yıl, 10Bin yıl gibi
büyük uzunlukta bir yapay akım serisi hesaplamak, bunu her biri 35’er veya
50’şer yıllık 100 veya 200 adet parçalara bölmek, hidroelektrik üretimi, sulama
suyu, içme-kullanma suyu temini gibi gayelerle 100 veya 200 adet parçanın her
biri ile ayrı ayrı işletme yapmak, elde edilen 100 veya 200 farklı bulgu ile
olasılık-bazlı sonuca ulaşmaktır. Örneğin 50 yıllık bir gözlenmiş akım serisi,
bir adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji bulgusu verirken, 100 adet 50’şer
yıllık sentetik seri parçası ile 100 adet ortalama yıllık hidroelektrik enerji
değeri elde edilir. Ortalama yıllık hidroelektrik enerjinin bir rastgele
değişken olduğu kabulü ile, bu 100 adet değere uygun bir olasılık dağılımı
uydurularak, örneğin geçilme olasılığı % 90 olan ortalama yıllık hidroelektrik
enerji hesaplanmış olur.
Uzun sentetik akım datası üretme amaçlı paket programlar
mevcuttur. HEC4 (USACE, 1971), SPIGOT (Grygier ve Stedinger, 1990, 2001),
SAMS2007 (Sveinsson ve ark, 2007) programları bilinenler olarak
değerlendirilebilir. Sembolik olarak tasvir edildiğinde, HEC4, bir
çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) aylık akım modelidir. SPIGOT, yıllık akımlara,
isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu AR(1) modeli
uyguladıktan sonra, detayları Grygier ve Stedinger (1990, 2001) tarafından
açıklanan zamansal ayrıştırma veya mekânsal ayrıştırma yöntemleriyle aylık
akımları hesaplamaktadır. SAMS2007 yıllık ve aylık akım serilerini ayrı olarak
farklı birkaç modelle türetmektedir. SAMS2007 yıllık akımlar için
çok-istasyonlu ARMA(p,q) modeli, fakat aylık akımlar için çok-istasyonlu AR(p)
modeli uygulayabilmektedir. SAMS2007 çok-istasyonlu aylık akımlar için yıllık
akımlara uyguladığı çok-istasyonlu ARMA(p,q) modelinin verdiği yıllık
akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları elde etmektedir (Sveinsson ve
ark, 2007). SAMS2007 isteğe bağlı olarak tek-istasyonlu veya çok-istasyonlu
modelleri ayrı ayrı uygulamaktadır (Sveinsson ve ark, 2007). HEC4, SPIGOT, ve
SAMS2007’nin hiç birisi aylık akımlar için çok-istasyonlu ARMA(1,1) modeli
uygulamamaktadır. Bunların en kapsamlısı SAMS2007 gibi görülmektedir; çünkü
SAMS2007 hem p’nin hem de q’nun 10 kadar yüksek seviyelere kadar çıkabildiği
ARMA(p,q) modeli uygulamaktadır. Fakat, SAMS2007 bu modeli sadece
çok-istasyonlu yıllık akımlara uygulayabilmekte, aylık akımlar istenirse,
hesapladığı yıllık akımlardan ayrıştırma yöntemiyle aylık akımları
hesaplamaktadır. Özeti bu bildiride sunulan bu çalışmada, HEC4, SPIGOT, ve
SAMS2007’ninkilerden farklı bir yöntemle, en fazla 20 adet olabilen bir grup
içinde M adet istasyondaki aylık akım serilerine doğrudan çok-istasyonlu AR0+ARMA(1,1)
modeli uygulanmıştır. Analitik ve nümerik safhaları geliştirildikten sonra, bu
model Fortran dilinde AR0ARMA11 adlı bir bilgisayar programı olarak
kodlanmıştır. Bir gruptaki istasyon adedi en fazla 20, sentetik seri uzunluğu
da en fazla 10bin yıl olmaktadır. Programda M adet her biri 10bin satırlı 12
sütunlu matrisin yanısıra, birçok aynı boyutta matrisler ve birçok uzun tek
boyutlu diziler gerekmekte, bu haliyle program, 20 istasyonlu bir grubun 10Bin
yıllık aylık akım serilerinin hesabı için 4 Giga byte RAM hafızası olan bir
PC’de çalışmaktadır. Program, RAM hafızası 8 veya daha fazla GB olan PC’ler
için gruptaki seri adedini 40’a veya hatta 50’ye çıkarılacak biçimde kolayca
modifiye edilebilir.
MATERYAL VE METOT
Materyal
Bu çalışmanın materyali olarak, Elektrik İşleri Etüt
İdaresi ve Devlet Su İşleri Genel Müdürlüğünce ölçülmüş olan ülkemizdeki doğal
akarsuların memba kısmında baraj bulunmayan akım rasat istasyonlarının aylık
akım serileri kullanılmıştır. Doğu Karadeniz Bölgesinde, 22 nolu Müteferrik
Doğu Akdeniz Suları ve 23 nolu Çoruh havzalarında 19 adet akım rasat istasyonu
bir grup olarak alınmıştır. Ayrıca, 21 nolu Fırat ve 26 nolu Dicle havzalarında
19 adet, Ege Bölgesinde 3 nolu Susurluk, 4 nolu Müteferrik Ege Suları, 5 nolu Gediz,
6 nolu Küçük Menderes havzalarında 20 adet, ve İç Anadolu Bölgesinde 14 nolu
Yeşilırmak, 15 nolu Kızılırmak, 16 nolu Orta Anadolu Kapalı havzalarında 16
adet akım rasat istasyonu bir grup olarak alınmıştır. Bu akım rasat
istasyonlarında ölçülmüş olan aylık akım dataları 1962 – 2011 arası 50 yıllık
süreç için alınmış, uygun dosyalara kaydedilmiştir. Bu istasyonlardan bir kısmı
1962’den daha sonra açıldığı için bazı seriler daha kısadır. Bazı serilerde de
aralarda kayıt boşlukları vardır.
Su Kaynakları Mühendisliği alanında, HEC1, HEC-RAS gibi
birçok paket programı A.B.D.’de, ülkemizde, ve birçok ülkede kullanılmakta olan
A.B.D. Ordu Mühendisleri Birliği Hidrolojik Mühendislik Merkezi’nin aylık akım
serilerinin, gözlenmiş olanlardaki eksikliklerin tamamlanması ve istenen
uzunlukta sentetik seriler hesaplanması için çok-istasyonlu AR(0)+AR(1) modeli
uygulayan, HEC4 olarak bilinen bir paket programı da mevcuttur (USACE, 1971). SPIGOT
ve SAMS2007’den farklı olarak HEC4, öncelikle kaydedilmiş doğal akım
serilerinden eksik ayların değerlerini de aynı model ile hesaplamakta ve
gruptaki bütün istasyonların eksik akımlarını tamamlamaktadır. Bu çalışmada,
gözlenmiş akımların eksiklerinin hesaplanması kısmında HEC4 programının
AR(0)+AR(1) modelindeki rastgele bileşen kaldırılmış, o ayın ve bir önceki ayın
açıklayıcı değişkenler olduğu çoklu lineer regresyon kullanılmıştır. Detayları
burada sunulmayan, ölçülmüş birçok akımı seriden çıkarıp HEC4’e hesaplattırarak
yapılan çok sayıda kombinezon sonucu, rastgele bileşensiz çoklu-regresyonun
gözlenmiş serilerdeki eksik akımları daha duyarlı olarak hesapladığı
görülmüştür. 1970’te geliştirilmiş olan HEC4 programı, o zamanki
bilgisayarların hafıza kapasitesinden dolayı, bir grupta en fazla 10 seri
almakta ve en fazla 100 yıl süreli sentetik seri hesaplayabilmektedir (USACE,
1971). Daha uzun sentetik serileri 100’er yıllık parçalar halinde hesaplamakta,
bunları kısımlar halinde yardımcı hafızaya kaydetmektedir. Bu çalışmada, önce eksik
akımların tamamlanmasında yapılan değişikliğin yanısıra, HEC4, bir grupta 20
seri alacak biçimde ve parçalara ayırmadan bir seferinde 10Bin yıla kadar
süreli sentetik seri hesaplayacak biçimde modifiye edilmiştir. Dolayısıyla,
yukarıda özetlenen gruplar öncelikle modifiye HEC4 ile çalıştırılmış ve
gruplardaki istasyonların gözlenmiş aylık akım serileri 1962 – 2011 süreci için
tamamlanmıştır. Böylece tamamlanan doğal akım serileri, bu çalışmada
geliştirilmiş olan AR0ARMA11 programının giriş datasını teşkil etmiştir. Bu
bildiride, yukarıda bahsedilenlerden Fırat-Dicle grubu içindeki, Tohma Suyu
üzerinde 2145 nolu Hisarcık akım rasat istasyonu örnek olarak verilecektir.
2145-Hisarcık istasyonunun drenaj alanı 5780.8 km2 olup, 1963 – 2011
sürecinde eksiksiz gözlenmiş datası bulunmaktadır.
Metot
En fazla 20 istasyonun bir grupta bulunabileceği, en
fazla 10Bin yıla kadar uzunlukta aylık akımların AR(0)+ARMA(1,1) modeli ile
sentetik olarak hesabı için geliştirilmiş olan çok-istasyonlu model aşağıda
özetlenen adımları içermektedir.
1) Her istasyonun n´12 adet elemanı bulunan gözlenmiş
aylık akım serisine Qi = A´ti + B ifadesi ile tanımlı
lineer trend analizi yapılır. Bu ifadedeki ti, Qi aylık
akımın n´12 aylık süreçteki tam sayı konum değeridir. Burada,
n´12 adet aylık akım değerleri kullanılarak A ve B
katsayıları en-küçük-kareler yaklaşımlı regresyonla hesaplanır. A katsayısının t değeri ve A’nın % 99 anlamlılıkta çift
taraflı güven aralığı hesaplanarak gözlenmiş aylık akımlar serisinin lineer
trendi olup olmadığına karar verilir. Örneğin, bu çalışmada alınanlardan, 19
istasyon içeren Fırat-Dicle grubunda 5 istasyonda azalan trend görülmüştür. Karadeniz
grubu hariç, diğer iki grupta da bazı istasyonlarda azalan trend bulunmuştur. Öncelikle
trend bulunan bir istasyonun n´12 adet aylık akım değerlerinin
hepsi, artan trend varsa aynı eğimle azaltılmakta, azalan trend varsa aynı
eğimle arttırılmakta, ve böylece ortalaması zaman göre sabit bir gözlenmiş akım
serisi elde edilmektedir.
2) Her istasyonun kesiksiz n yıllık aylık akımlar serisi
bulunan, M adet istasyon içeren gruptaki her istasyonun her ayının akım
serisinin ortalaması, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı hesaplanır.
3) Her istasyonun n´12 adet standardize değişken
serisi aşağıdaki eşitlik ile hesaplanır.
zi,k = (Ql,j,k – ortj,k
) / ssj,k , l = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., 12, k = 1, 2, …,
M, i = 1, 2, ..., n´12 (1)
Burada, Ql,j,k : k.nıncı istasyon akım serisinin,
l.ninci yılının, j.ninci ayındaki akım değeri (hm3/ay), ortj,k
: k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin ortalaması (hm3/ay),
ssj,k : k.nıncı serinin, j.ninci ayının n adet değerinin standart
sapması (hm3/ay), zi,k : k.nıncı serinin standardize
değişkenidir (boyutsuz, toplam n´12 adet elemanlı tek seri).
4) Her istasyonun n´12 adet standart-normal değişken
serisi (ui,k), parametreleri, momentler, olasılık-ağırlıklı
momentler (OAM), maksimum-olabilirlik (MO), sıfır-çarpıklık yöntemlerinden en
uygun olanı ile hesaplanmış 3-parametreli log-normal dağılım (LN3) dönüştürümü
ile hesaplanır. Oldukça kapsamlı ara adımlar ve hesaplar gerektiren bu kısmın
özeti bildiriyi uzatmamak amacıyla verilmeyecektir. Arzu eden herkese sunulabilir.
Parametreler hesaplandıktan sonra LN3 dağılımı ile standart-normalizasyon
dönüştürümü aşağıdaki eşitliklerle yapılır.
ui,k = [ln(zi,k – ck) –
ln(bk)] / ak , zi,k
serisinin çarpıklık katsayısı > +0.05 ise (2.1)
ui,k = [ln(ck – zi,k) –
ln(bk)] / ak , zi,k
serisinin çarpıklık katsayısı < –0.05 ise (2.2)
Bir istasyonun zi,k serisinin çarpıklık
katsayısı –0.05, +0.05 aralığında kalırsa zi,k serisinin
standart-normal dağılımlı olduğu kabul edilerek doğrudan ui,k = zi,k
alınır. Bu çalışmada data olarak kullanılan ülkemizden 74 istasyonun hiçbirinde
bu durum oluşmamıştır. Şekil 1’de 2145-Hisarcık istasyonunda standardize
değişkenin, Şekil 2’de de standart-normal değişkenin QQ grafikleri
verilmektedir. Şekil 2’deki noktalar Şekil 1’dekine göre 45 derecelik doğruya
daha yakın bir konumda olduğundan dolayı LN3-MO dağılımı ile dönüştürülmüş
standart-normal serinin standardize seriye nazaran standart-normal dağılıma
daha iyi uyduğu söylenebilir.
Şekil 1.
2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standardize edilmiş
elemanlarının QQ grafiği.
Şekil 2.
2145-Hisarcık istasyonunda gözlenmiş serinin 600 adet standart-normalize
edilmiş elemanlarının QQ grafiği.
5) M adet istasyondan 1.inci istasyonun sentetik standart-normal
değerleri AR(0)+ARMA(1,1) modelinde aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.
M M
ui,1 = ∑ βk∙ui,k + ∑ ϕk∙ui–1,k
+ ηi – θ∙ηi–1 , i = 1, 2, . . ., n´12 (3)
k=2 k=1
Burada, βk : ui,1’i diğer M–1 adet
istasyonun o ayki u’larına iliştiren AR(0) parametreleri, ϕk∙: ui,1’i
kendisi dahil bütün M adet istasyonun bir ay önceki u’larına iliştiren AR(1)
parametreleri, ηi : ortalaması sıfır, varyansı (1–R2)’ye
eşit olan normal dağılımlı rastgele bileşenin i.ninci aydaki değeri, θ : ui,1’i
rastgele bileşenin bir ay önceki değerine iliştiren MA(1) parametresidir. (1–R2)’deki
R2, n´12 adet gözlenmiş serinin ui,1’leri
ile (3) eşitliğinin hesapladığı ui,1’ler arasındaki ilişkinin
determinasyon katsayısıdır (Box ve ark, 2008). Görüldüğü gibi, bir grupta M
adet istasyon var ise, AR(0)+ARMA(1,1) modelinin toplam 2´M adet parametresi bulunmaktadır. (1–R2)
aşağıdaki gibi tanımlıdır (Örneğin: Montgomery ve ark 2001).
n´12
n´12
1–R2 = ∑ (ui,1-gözlenen – ui,1-hesaplanan)2
/ ∑ (ui,1-gözlenen – u1-ortalama)2 (4)
i=1 i=1
Burada, u1-ortalama : n´12 adet ui,1-gözlenen’lerin aritmetik
ortalaması, ui,1-hesaplanan’lar da (3) eşitliği ile hesaplanan ui,1’lerdir.
(4) eşitliği genel olup, (3) eşitliğinden farklı bir eşitlik için de geçerlidir
ve o eşitliğin (1–R2)’sini verir.
(3) eşitliğindeki rastgele bileşen bu çalışmada aşağıdaki
gibi hesaplanmaktadır.
Pnexi = ursi (5)
sndi = Φ(Pnexi) (6)
ηi = ση ∙ sndi (7)
Burada, ursi : alt sınırı 0, üst sınırı 1 olan
üniform dağılımlı (kenar uzunluğu 1 olan kare) bir rastgele sayı, Pnexi
: ursi’ye eşit alınan, ηi’nin küçük-kalma olasılığı, Φ(Pnexi):
standart-normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu inversinin Pnexi
argümanı için verdiği nümerik değer, ση : ηi’nin standart
sapmasıdır ve ση = (1–R2)1/2’dir. Bu çalışmada
ursi, Numerical Recipes
(Press ve ark, 1992) kitabında verilen RAN1 adlı alt-program ile, Φ(Pnexi)
te Odeh ve Evans’ın (1974) 8 anlamlı hane duyarlılığındaki nümerik yöntemiyle
hesaplanmaktadır.
6) (3) eşitliğindeki M–1 adet βk, M adet ϕk,
ve bir adet θ parametresi, M adet her biri n×12 elemanlı aylık akım serilerinin
dönüştürülmüş ui,k değerleri ve (5), (6), (7) eşitliklerinden elde
edilmiş n×12 elemanlı ηi serisi kullanılarak, (3) eşitliğiyle
hesaplanan ui,1’ler ile gözlenmiş ui,1’ler arasındaki
farkların karelerinin toplamını minimum yapacak biçimde, diğer bir deyişle
en-küçük-kareler yöntemiyle hesaplanmaktadır. Anılan farkların karelerinin
toplamı aşağıdaki gibidir.
n×12
FKT1 = ∑ (ui,1-hesaplanan – ui,1-gözlenen)2 (8)
i=1
Burada, ui,1-hesaplanan için (3) eşitliğinin
sağ tarafı ve ui,1-gözlenen için de kısa olması amacıyla ugi,1
sembolü kullanıldığında FKT1 aşağıdaki gibi yazılabilir.
n×12
M M
FKT1 =
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k + ∑ ϕk∙ugi–1,k
+ ηi – θ∙ηi–1 ] – ugi,1}2 (9)
i=1 k=2
k=1
FKT1’i minimum yapan parametreleri bulabilmek
için FKT1’in her bir parametreye göre kısmi türevini alıp bunları
sıfıra eşitleyerek oluşturulan denklem takımını parametreler için çözmek
gerekir. FKT1’in β2’den βM’ye kadar kısmi
türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi olur.
n×12 M M
n×12
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi,m
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi,m – θ∙ηi–1∙ugi,m
] = ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi,m , m = 2, 3, …, M (10)
i=1 k=2 k=1 i=1
FKT1’in ϕ1’den ϕM’ye
kadar kısmi türevlerinin sıfıra eşitlenmesiyle oluşan eşitlikler aşağıdaki gibi
olur.
n×12 M M
n×12
∑ {[ ∑ βk∙ugi,k∙ugi–1,m
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ugi–1,m – θ∙ηi–1∙ugi–1,m]
= ∑ (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,m , m = 1, 2, …, M (11)
i=1 k=2 k=1
i=1
FKT1’in θ’ya göre kısmi türevinin sıfıra
eşitlenmesiyle oluşan eşitlik aşağıdaki gibi olur.
n×12 M
M n×12
∑ {[ ∑ βk·ugi,k∙ηi–1
+ ∑ ϕk∙ugi–1,k∙ηi–1 – θ∙(ηi–1)2]
= ∑ (ugi,1 – ηi)∙ηi–1 (12)
i=1 k=2
k=1
i=1
(10) eşitliklerinden M–1 adet, (11) eşitliklerinden M
adet, ve (12) eşitliğinden de 1 adet lineer denklem elde edilir. Böylece, 2×M
adet bilinmeyene karşılık 2×M adet lineer denklem elde edilmiş olur. (10), (11),
ve (12) eşitliklerinin oluşturduğu lineer denklemler takımı AX = B sembolleri
ile öz bir biçimde yazılırsa, X bilinmeyenler vektörünün, A katsayılar
matrisinin, ve B yük vektörünün elemanları aşağıdaki gibidir.
x1 ≡ β2, x2 ≡ β3,
. . ., xM–1 ≡ βM, xM ≡ ϕ1, xM+1
≡ ϕ2, . . ., x2M–1 ≡ ϕM, x2M ≡ θ
a1,1 = S ugi,22 , a1,2 = S ugi,3∙ugi,2 , . . ., a1,M–1 = S ugi,M∙ugi,2 , a1,M = S ugi–1,1∙ugi,2 ,
a1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,2 , . . ., a1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,2 , a1,2M = S ηi–1∙ugi,2
a2,1 = S ugi,2∙ugi,3 , a2,2 = S ugi,32
, . . ., a2,M–1 = S ugi,M∙ugi,3 , a2,M = S ugi–1,1∙ugi,3 ,
a2,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,3 , . . ., a2,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi,3 , a2,2M = S ηi–1∙ugi,3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aM–1,1 = S ugi,2∙ugi,M , aM–1,2 = S ugi,3∙ugi,M , . . ., aM–1,M–1 = S ugi,M2 , aM–1,M = S ugi–1,1∙ugi,M ,
aM–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi,M , . . ., aM–1,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi, M , aM–1,2M = S ηi–1∙ugi,M
aM,1 = S ugi,2∙ugi–1,1 , aM,2 = S ugi,3∙ugi–1,1 , . . ., aM,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,1 , aM,M = S ugi–1,12 ,
aM,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,1 , . . ., aM,2M–1 = S ugi–1,M∙ugi–1,1 , aM,2M = S ηi–1∙ugi–1,1
aM+1,1 = S ugi,2∙ugi–1,2
, aM+1,2 = S ugi,3∙ugi–1,2 , . . ., aM+1,M–1 = S ugi,M∙ugi–1,2 , aM+1,M
= S ugi– 1,1∙ugi–1,2 , aM+1,M+1
= S ugi–1,22 , . . ., aM+1,2M–1
= S ugi–1,M∙ugi–1,2 , aM+1,2M
= S ηi–1∙ugi–1,2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a2M–1,1 = S ugi,2∙ugi–1,M , a2M–1,2 = S ugi,3∙ugi–1,M , . . ., a2M–1, M–1 = S ugi,M∙ugi–1,M ,
a2M–1,M = S ugi–1,1∙ugi–1,M , a2M–1,M+1 = S ugi–1,2∙ugi–1,M , . . ., a2M–1,2M–1 = S ugi–1,M2 , a2M–1,2M = S ηi–1∙ugi–1,M
a2M,1 = S ugi,2∙ηi–1 , a2M,2 = S ugi,3∙ηi–1
, . . ., a2M,M–1 = S ugi,M∙ηi–1 , a2M,M = S ugi–1,1∙ηi–1 ,
a2M,M+1 = S ugi–1,2∙ηi–1 , . . ., a2M,2M–1 = S ugi–1,M∙ηi–1 , a2M,2M = S ηi–12
b1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,2 , b2 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,3 , . . ., bM–1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi,M
, bM = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,1 ,
bM+1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,2 , . . ., b2M–1 = S (ugi,1 – ηi)∙ugi–1,M
, b2M = S (ugi,1 – ηi)∙ηi–1
Yukarıda özetlendiği biçimde oluşan AX = B takımının en
fazla 40 adet denklemi oluşmaktadır. Genel programda diziler ve matrisler 7
anlamlı haneli olarak işlenirken, AX = B sisteminin bilinmeyen vektörü 16
anlamlı haneli olarak Gauss-Jordan yöntemiyle hesaplanmaktadır.
7) n×12 adet rastgele bileşenin değerleri (4) ve (7)
eşitliklerinden dolayı henüz hesaplanmamış olan parametrelere bağlı olduğu için
parametrelerin hesabı iteratif bir yöntem gerektirmektedir. 0 ile +1 arasındaki
(1–R2)’nin olması gereken değerini hesaplamak için öncelikle (3)
eşitliğindeki son iki terimin kaldırıldığı doğrudan, 2×M–1 adet açıklayıcı
(bağımsız) değişkeni olan çoklu lineer regresyonun (1–R2)’si hesaplanmaktadır.
Gerçek (1–R2) için bunu başlangıç tahmini alan Kiriş yöntemi ile
(1–R2) değişmez oluncaya kadar iterasyonlar devam etmekte son
iterasyondaki 2´M adet parametre çok-serili
AR(0)+ARMA(1,1) modelinin parametreleri olmaktadır. Her iterasyonda yukarıda
özetlenen AX = B sistemi çözülmektedir.
8) 1 nolu istasyonun i.ninci ayının standart-normal
değerini gruptaki diğer M–1 adet istasyonun aynı aydaki standart-normal değerlerine
(ui,k’lara) iliştirdiği için (3) eşitliğindeki ilk terimden dolayı
parametrelerin belirlenmesini takiben N yıllık sentetik ui,1 serisi direkt
olarak hesaplanamaz. Çünkü diğer istasyonların o ayki standart-normal değerleri
henüz hesaplanmamıştır. Kapsamlı bir iteratif yöntem gerekmektedir. M adet
serinin her birinin N´12 adet ui,k’ları
doğru olarak hesaplandığında, bu bilinen ui,k’lar ve ui–1,k’lar
(3) eşitliğine konduğu vakit hesaplanan ui,1’ler artık belirlenmiş
olan ui,1’lere kabul edilebilir bir duyarlılıkta eşit olmak
zorundadır. Bu kapsamlı iteratif döngüler içeren yöntem bu kısımda
özetlenmektedir. Öncelikle, (3) eşitliğinin daha basit bir hali olan ilk
teriminin çıkarıldığı model ele alınır. Bu, çok-serili ARMA(1,1) modelidir. Bu
sade modelde ui,1 bir önceki ayların standart-normal değerlerine (ui–1,k’lara)
iliştirildiği için, sentetik ui,1’lerin hesabı doğrudan yapılabilir.
Fakat, bu çalışmada uygulanan AR0+ARMA(1,1) modelinden daha sade bir model olan
ARMA(1,1) modeli tabi ki ilkinden daha farklı ui,1’ler hesaplayacaktır.
Bu çalışmada, sade modelin verdiği ui,1’ler asıl modelin
hesaplayacağı ui,1’ler için başlangıç tahminleri olarak
kullanılmaktadır. Çok-serili ARMA(1,1) modelinin M adet parametresi
bulunmaktadır. Yukarıda, buraya kadar özetlenen çok-serili AR0+ARMA(1,1)
modelinin parametrelerinin hesabı için uygulanan en-küçük-kareler yöntemi bu çok-serili
ARMA(1,1) modeli için de uygulanmakta, sonra N´12 adet ui,1’ler
hesaplanmaktadır. Son iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin
ortalamasının bir önceki iterasyondaki N´12 adet ui,1’lerin
ortalamasından olan mutlak farkın 0.0001’den (10–4) küçük olduğunda asıl modelin yeterli
hassasiyette ui,1’leri hesapladığı kabul edilmiştir. Bu kriter, 20
adet istasyonlu bir grupta 20 adet serinin her birinin toplam 120Bin adet ui,k’ları
olan 10Bin yıllık sentetik serilerde 50 ile 100 arası iterasyon gerektirmektedir.
Yakınsama kriteri10–4 yerine 10–6 alındığında iterasyon
sayısı 10 ~ 20 civarında artmaktadır. Hesaplanan ui,k’ların büyük
çoğunluğu –5, +5 aralığında küçük boyutlu reel sayılar olduğu için
ortalamalardaki farkın 0.0001 olması yeterlidir. Son iki iterasyonda
ortalamalar arasındaki fark yeterli hassasiyette değilse, N´12 adet yeni iterasyon değerleri aşağıdaki eşitlik ile
hesaplanmaktadır.
Yeni ui,1 = AK1´(bir önceki iterasyondaki ui,1) + AK2´(son iterasyondaki ui,1) (13)
Burada, AK1 : bir önceki iterasyonda
hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısı, AK2 : son
iterasyonda hesaplanan ui,1’ler için ağırlık katsayısıdır, ve bunlar,
son iki iterasyondaki N´12 adet ui,1’ler
serilerinin standart sapmalarının değerlerine göre aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır.
AK1 = SS1 / (SS1 + SS2) , AK2 = SS2
/ (SS1 + SS2) (14.1),
(14.2)
Bu iterasyonlarda 1.inci istasyonun dışındaki diğer M–1
adet istasyonun ui,1’leri en son değerlerinde sabit kalır. İlk
iterasyonda M–1 adet istasyonun ui,k’ları çok-serili ARMA(1,1)
modelince hesaplanan değerler olarak kalır.
9) Yukarıdaki paragraflarda özetlendiği biçimde M adet
seriden 1.inci serinin N´12 adet ui,1’leri
yeterli hassasiyette hesaplandıktan sonra, serilerin yerleri bir sıra geriye
gidecek biçimde değiştirilmektedir. Baştaki dizilişte 2.nci olan 1.inciye,
3.üncü olan 2.nciye, …, M.inci olan M–1.inciye kaydırılırken, en baştaki 1.inci
de M.inci olarak değiştirilir. Bu değişim yapıldıktan sonra, serilerin ui,k’larının
en son değerleri ile yukarıdaki 5.inci şıkka gidilir ve büyük döngü
iterasyonlar, M adet serinin tamamının son iki iterasyonların N´12 adet ui,1’leri ortalamaları mutlak farkı
0.0001’den (10–4) küçük kalana kadar devam eder. N = 10Bin iken 20
istasyonlu bir grupta 80 civarında büyük iterasyon döngüsü sonunda M adet
serinin N´12 adet ui,1’leri değişmez olmaktadır.
10) (3) eşitliği ile M adet istasyonun N´12 adet ui,k’ları hesaplandıktan sonra, LN3
dağılımı ile ui,k’lar (2) eşitliklerinin inversleri olan aşağıdaki
eşitlikler kullanılarak zi,k’lara dönüştürülür.
zi,k = ck + exp[ui,k × ak
+ ln(bk)], baştan z’lerin
çarpıklık katsayısı pozitif ise (15.1)
zi,k = ck – exp[ui,k × ak
+ ln(bk)], baştan z’lerin
çarpıklık katsayısı negatif ise (15.2)
Sonra, zi,k’lar, (1) eşitliğinin inversi olan
aşağıdaki eşitlik kullanılarak aylık akımlara dönüştürülür.
Ql,j,k = zi,k × ssj,k +
ortj,k , k = 1, 2, …, M, j =
1, 2, …, 12, l = 1, 2, …, N, i = 1, 2, …, N´12 (16)
11) Başta gözlenmiş akım serisinde trend tespit edilen
bir istasyonun N-yıllık sentetik akım serisinin her bir n-yıllık parçasının n´12 adet akım değerleri, Qi = A´ti + B ifadesi ile trende uygun olarak
değiştirilmektedir. Trend ifadesi, uzun sentetik serinin N´12 adet akımlarına baştan sona uygulanmamaktadır.
BULGULAR, SONUÇ, VE
TARTIŞMA
Çalışmanın bir yan ürünü olarak, ülkemizin değişik
bölgelerinden toplam 74 akım rasat istasyonunda, 1962 – 2011 sürecinde
gözlenmiş aylık akım serilerinin, % 99 anlamlılık seviyesinde lineer regresyon
yöntemiyle yapılmış trend analizi sonuçları vardır. Doğu Karadeniz grubundaki
19 istasyondan hiçbirinin 1962 – 2011 sürecinde gözlenmiş aylık akım
serilerinde trend bulunmamıştır. Aynı süreç için, Ege Bölgesindeki grupta, dört
havzadan 20 akım rasat istasyonunun 19’unda, Yeşilırmak, Kızılırmak, ve Orta
Anadolu havzalarındaki 16 istasyonluk grupta 8 istasyonda, Fırat-Dicle
grubundaki 19 istasyonun 5 adedinde azalan trend görülmüştür. Toplam 74 adet
gözlenmiş aylık akım serilerinden hiç birinde artan trend bulunmamıştır.
Bu çalışmada, kendine özgü bir yaklaşımla, akım
özelliklerinin benzer olduğu beklenen bir bölgedeki en fazla 20 akım rasat
istasyonunda n yıllık gözlenmiş aylık akım serilerini alıp, her istasyon için N
yıllık sentetik aylık akım serileri üreten bir model geliştirilmiş ve Fortran
dilinde bilgisayar programı olarak kodlanmıştır. Bir tür Box-Jenkins modeli
olan bu çalışmanın modeli, genelde kullanılan sembollerle, bir ‘çok-serili
AR(0)+ARMA(1,1)’ modelidir. Bu modelin, GİRİŞ kısmında bahsedilen HEC4,
SAMS2007, ve SPIGOT modellerinden diğer bir farkı da, gruptaki her bir
istasyonda aylık akım serilerine % 99 anlamlılık seviyesinde lineer trend
analizi yapmasıdır. Trend bulunan bir serinin n´12 adet bütün gözlenmiş akımları,
trend doğrusunun eğimi ile aynı oranda, azalan trend olan seri için
arttırılmakta artan trend için azaltılmakta, böylece en başta, modelin diğer
aşamalarına geçmeden, ortalama değeri zamana göre sabit bir seriye
dönüştürülmektedir. En sonunda, trend olan bir istasyonun sentetik aylık
akımları (16) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, N yıllık sentetik serinin
n-yıllık parçalarının her birine ayrı ayrı, baştan elde edilen Qi =
A´ti + B ifadesi ile trend uygulaması
yapılmaktadır.
Programın çıktı dosyalarından, istatistiksel özellikleri
özetleyen olanının sonunda, 12 ayın her birinin n-yıllık gözlenmiş akımlarının
ortalaması, varyasyon katsayısı, ve çarpıklık katsayısı ve aynı rakamların
altında N/n adet her biri n-yıllık sentetik aylık akım serilerinin
ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama
değerleri verilmektedir. Çizelge (1)’de Fırat-Dicle grubunda bu çalışmada örnek
olarak seçilen 2145-Hisarcık istasyonunun bu istatistikleri verilmektedir. Diğer
18 istasyonun ve diğer gruplardaki bütün istasyonların anılan istatistikleri
benzer yapıdadır. Bu çıktıların incelenmesinden 200 adet 50’şer yıllık ortalama
ve varyasyon katsayıları ortalama değerlerinin 50’şer yıllık gözlenmiş akım
serilerinkilere çok yakın olduğu görülmüştür. Çarpıklık katsayılarında uyum
diğer ikisi kadar iyi gözükmemektedir.
Çizelge 1. Fırat-Dicle grubundaki istasyonlardan
2145-Hisarcık istasyonu 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisinin ortalama,
varyasyon katsayısı, çarpıklık katsayısı değerleri, ve bu çalışmada
geliştirilen modelin hesapladığı her biri 50-yıllık 200 adet sentetik serinin
ortalamaları, varyasyon katsayıları, ve çarpıklık katsayılarının ortalama
değerleri.
ORTALAMA DEĞER
(hm3/ay) VARYASYON
KATSAYISI ÇARPIKLIK KATSAYISI
AYLAR Doğal seri 200 sentetik Doğal seri 200 sentetik Doğal seri 200 sentetik
değeri seri ortalaması değeri seri ortalaması değeri seri ortalaması
Ekim
46.4 46.5 0.24 0.24 1.00
0.50
Kasım
47.3 47.3 0.23 0.22 1.10
0.52
Aralık
48.2 48.2 0.24 0.23 1.18
0.51
Ocak
47.2 47.1 0.23 0.22 1.04
0.47
Şubat
45.7 45.8 0.24 0.23 0.81
0.48
Mart
82.0 82.1 0.38 0.37 2.34
0.49
Nisan
107.2 107.2 0.49 0.48 1.17
0.53
Mayıs
87.1 87.4 0.47 0.46 1.20
0.52
Haziran
59.2 59.1 0.40 0.40 0.73 0.50
Temmuz 46.4 46.7 0.39 0.38 1.09 0.51
Ağustos 41.3 41.4 0.38 0.37 0.97 0.48
Eylül
39.9 39.8 0.32 0.31 0.90
0.57
Bu modelin, Fırat ve Dicle havzalarında, içinde 19 adet,
memba kısmında baraj olmayan akım rasat istasyonunun bulunduğu gruba
uygulanması sonucu, 50’şer yıllık gözlenmiş aylık akımlar giriş datası ile
10Bin’er yıllık sentetik aylık akımlar hesaplanmıştır. Bu 19 istasyonluk grupta
azalan trend gösteren 5 adet istasyondan rastgele seçilen 2145-Hisarcık
istasyonunun 10Bin yıllık sentetik serisinden elde edilen 200 adet, çakışmayan,
her biri 50 yıllık sentetik aylık akım serilerinden baştakinin (1.incisinin),
ortadakinin (100.üncüsünün), ve sonuncusunun (200.üncüsünün) 600’ar aylık
akımlarının görünümleri 3, 4, ve 5 nolu şekillerde 50 yıllık doğal akım serisi
ile birlikte sunulmaktadır. Bu şekillerin göreceli incelenmesinden, burada
özetlenen bu stokastik modelin makul sentetik akımlar hesapladığı söylenebilir.
Şekil 3. 2145-Hisarcık
istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 1.inci 50-yıllık kısmı
ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serisi.
Şekil 4. 2145-Hisarcık istasyonunda türetilen 10Bin yıllık
sentetik akımlardan 100.üncü 50-yıllık kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar
serisi.
Şekil 5. 2145-Hisarcık
istasyonunda türetilen 10Bin yıllık sentetik akımlardan 200.üncü 50-yıllık
kısmı ve 50-yıllık gözlenmiş aylık akımlar serileri.
KAYNAKLAR
Beard L R, Fredrich A J,
Hawkins E F (1970) Estimating Monthly Streamflows
within a Region,TP 18. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of
Engineers, Davis, CA.
Box G E P, Jenkins G M,
Reinsel G C (2008) Time Series Analysis
Forecasting and Control, Fourth Edition, John Wiley & Sons Inc.,
Hoboken, New Jersey, USA.
Can I and Yerdelen C (2005)
Auto-regressive moving-average (ARMA) modeling of monthly flows of M Kemal Pasa
River, Susurluk Basin. Journal of Faculty
of Engineering and Architecture of Selcuk University, 20(3), 25–34.
Çukurova Elektrik
A. Ş. (1986) Sır Dam
and Hydroelectric Project, Water Potential and Power Studies (Revision). Coyne et Bellier, Bureau d’Ingenieurs
Conseils, Paris, France, Aknil Engineers Consultants, Ankara, Turkey.
EİE (2006) Ağaçhisar Barajı ve HES için Fizibilite
Raporu, Susurluk – Orhaneli Çayı Havzasındaki Enerji Projeleri. Elektrik
İşleri Genel Müdürlüğü, Ankara.
Grygier J C and
Stedinger J R (1990) SPIGOT, A Synthetic
Streamflow Generation Software Package, Technical Description, Version 2.6.
School of Civil and Environmental
Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501, USA.
Grygier J C and Stedinger J R
(2001) SPIGOT, A Synthetic Streamflow
Generation Software Package, User’s Manual, Version 2.7. School of Civil
and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York 14853-3501,
USA.
Karabörk M Ç and Kahya E
(1999) Multivariate stochastic modeling of monthly streamflow of rivers in
Sakarya Basin (in Turkish). Turkish
Journal of Engineering and Environmental Sciences, 23(1999), 133–147.
Kottegoda (1980) Stochastic
Water Resources Technology, The MacMillan Press Ltd., Hong Kong.
Montgomery D, Peck E, Vining
G (2001) Introduction to Linear
Regression Analysis. 3rd edition, John Wiley, New York.
Odeh R E and Evans J O (1974) Algorithm AS 70: percentage
points of the normal distribution. Applied
Statistics, 23, 96-97.
Press W H, Teukolsky S A,
Vetterling W T, Flannery B P (1992) Numerical
Recipes in Fortran 77, The Art of Scientific Computing. Second Edition,
Cambridge University Press, UK.
Sveinsson O G B, Salas J D,
Lane W L, Frevert D K (2007) Stochastic
Analysis, Modeling, and Simulation (SAMS) Version 2007, User’s Manual.
Computing Hydrology Laboratory, Department of Civil and Environmental
Engineering, Colorado State University, Fort Collins CO, USA.
USACE (1971) HEC4 Monthly Streamflow Simulation User’s
Manual. US Army Corps of Engineers, Institute for Water Resources,
Hydrologic Engineering Center, 609 Second Street, Davis, CA 95616, USA.
USACE (1985) Engineer Manual EM-1110-2-1701 Hydropower.
US Army Corps of Engineers, Washington, D.C., 20314-1000.